Sin(pi/2 - 2x) - 2cos(4pi - 2x) < (sqrt(2))/2

Дано неравенство: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) - 2\cos(4\pi - 2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \] Для начала, преобразуем аргументы в синусе и косинусе с использованием тригонометрических соотношений: 1. \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(2x) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin(2x) = \cos(2x) \] 2. \[ \cos(4\pi - 2x) = \cos(2x) \] Теперь подставим эти значения обратно в начальное неравенство: \[ \cos(2x) - 2\cos(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ -\cos(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \] Теперь учтем, что \[ -\cos(2x) = \cos(\pi - 2x) \] (так как \[ \cos \] — четная функция): \[ \cos(\pi - 2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \] Для дальнейшего решения можно воспользоваться графиком косинуса или использовать аналитический метод. Аналитическое решение: Так как \[ \cos(\pi - 2x) \] находится в четвертой четверти (где косинус отрицательный), то: \[ \cos(\pi - 2x) < 0 \] Поскольку \[ \cos(\pi - 2x) = -\cos(2x) \] : \[ -\cos(2x) < 0 \] \[ \cos(2x) > 0 \] Косинус является положительным на первой и четвертой четвертях, поэтому решение неравенства: \[ 0 < x < \frac{\pi}{2} \] Прерывание неравенства включительно, так как косинус строго положителен внутри этого интервала. Таким образом, решение данного неравенства: \[ 0 < x < \frac{\pi}{2} \]