В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ АС не перпендикулярна стороне CD, а диагональ BD перпендикулярна стороне AВ. Докажите, что сумма углов АBC и ADC этого четырёхугольника равна 180°.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами четырёхугольника: 1. Рассмотрим угол ABC. Так как диагональ BD перпендикулярна стороне AB, то угол ABD прямой. А в прямоугольном треугольнике ABD два угла: угол ABD и угол BDA, сумма которых равна 90°. Поэтому угол ABC равен дополнительному углу к углу BDA в треугольнике ABD, то есть угол ABC = 180° - угол BDA. 2. Рассмотрим угол ADC. Так как диагональ AC не перпендикулярна стороне CD, то угол ADC не прямой. Но по тому же принципу, угол ADC = 180° - угол CDA. Теперь, чтобы доказать, что сумма углов ABC и ADC равна 180°, нужно сравнить их сумму с углом BCD в четырёхугольнике ABCD. В число углов четырёхугольника входят 4 внутренних угла: ABC, BCD, CDA, и DAB. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Следовательно, угол ABC + угол BCD + угол CDA + угол DAB = 360°. Подставим найденные значения углов ABC и ADC в это уравнение: (180° - угол BDA) + угол BCD + (180° - угол CDA) + угол DAB = 360°. Упростим выражение: 360° - угол BDA - угол CDA = 360°. Так как угол BDA + угол CDA = 90°, то угол BDA + угол CDA = угол BCD. Получаем: 360° - угол BCD = 360°, откуда угол BCD = 0°. Угол BCD равен 0°, что означает, что сумма углов ABC и ADC действительно равна 180°.