номер 50.2 найдите область определения производной функции y=f(x)

Для задачи 50.2 нам нужно найти область определения производной функции \( y = f(x) \).

Функция задана следующим образом:

\[ y = \frac{10 - x}{x^2 - 4} \]

Давайте разберем, как найти область определения производной.

1. Найти область определения функции

Сначала найдем область определения самой функции, так как производная может существовать только в тех точках, где существует сама функция.

Функция не определена там, где знаменатель равен нулю:

\[ x^2 - 4 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Поэтому \( x = 2 \) и \( x = -2 \) исключаются из области определения функции.

2. Найти производную функции

Функция имеет вид частного: \( y = \frac{u}{v} \), где \( u = 10 - x \) и \( v = x^2 - 4 \).

Производная такого выражения находится по правилу производной частного:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Вычислим производные:

\[ u' = -1 \]

\[ v = x^2 - 4 \Rightarrow v' = 2x \]

Теперь подставим в формулу производной:

\[ y' = \frac{(-1)(x^2 - 4) - (10 - x)(2x)}{(x^2 - 4)^2} \]

Упростим числитель:

\[ = -x^2 + 4 - 20x + 2x^2 \]

\[ = x^2 - 20x + 4 \]

Таким образом, производная:

\[ y' = \frac{x^2 - 20x + 4}{(x^2 - 4)^2} \]

3. Найти область определения производной

Теперь найдём, где существует эта производная. Она не определена там, где знаменатель равен нулю:

\[ (x^2 - 4)^2 = 0 \]

Это уравнение даёт те же точки: \( x = \pm 2 \).

Таким образом, область определения производной функции совпадает с областью определения функции, за исключением точек \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Ответ

Область определения производной функции \( y = f(x) \):

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \]