Для того чтобы быть уверенным, что выпадет орел с вероятностью более 0,95, мы можем использовать неравенство Чебышёва.
Неравенство Чебышёва формулируется следующим образом:
[P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2},]
где (X) - случайная величина, (\mu) - математическое ожидание, (\sigma) - стандартное отклонение, (k) - положительное число.
В нашем случае, если считать, что вероятность выпадения орла (события успеха) равна (p = 0.5) для идеальной монеты, то ожидаемое количество орлов в (n) подбрасываниях будет равно (np = \mu = \frac{n}{2}) и стандартное отклонение (\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{\frac{n}{4}} = \frac{\sqrt{n}}{2}).
Аналогично, для неравенства Чебышёва мы имеем:
[P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.]
В данной задаче нам требуется, чтобы выпадение орла было более 0,95 (выпадение решки менее 0,05), поэтому нас интересует ситуация, когда (P(X \geq \frac{n}{2}) \geq 0,95).
Подставим значения в неравенство Чебышёва:
[1 - P(X < \frac{n}{2}) = P(X \geq \frac{n}{2}) = P( X - \frac{n}{2} \geq 0) \leq \frac{1}{k^2}.]
Заменим наши значения согласно формулам:
[\frac{1}{4k^2} \geq 0,05.]
Таким образом, нам нужно найти минимальное (n), при котором выполнится неравенство:
[\frac{1}{4k^2} = 0,05,]
[k = \sqrt{\frac{1}{4\cdot0,05}} = \frac{1}{2\sqrt{0,05}} = \frac{1}{2\cdot0,2236} \approx 2,236,]
После чего возвращаемся к исходному неравенству:
[P( X - \frac{n}{2} \geq 0) \leq \frac{1}{k^2},]
и находим соответствующее минимальное значение (n).
[\frac{n}{4\cdot 5} = \frac{n}{20} = \frac{1}{(2,236)^2},]
[n = 20 \cdot (2,236)^2 \approx 100.]
Таким образом, чтобы быть уверенным, что орел выпадет с вероятностью более 0,95, необходимо сделать как минимум 100 подбрасываний идеальной монеты.
