bn геометрическая прогрессии

В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии.

Даны условия:

• \( b_6 - b_4 = 1700 \)
• \( b_5 - b_3 = 340 \)

Эти условия можно выразить через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \):

1. \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
2. \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \)
3. \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \)
4. \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \)

Подставим эти выражения в данные условия:

1. \( b_6 - b_4 = b_1 \cdot q^5 - b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1) = 1700 \)
2. \( b_5 - b_3 = b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1) = 340 \)

Рассмотрим уравнение (2):

\[ b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1) = 340 \]

Отсюда получаем:

\[ b_1 \cdot q^2 = \frac{340}{q^2 - 1} \quad \text{(3)} \]

Рассмотрим уравнение (1):

\[ b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1) = 1700 \]

Поделим уравнение (1) на уравнение (2):

\[ \frac{b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1)}{b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1)} = \frac{1700}{340} \]

Упростим:

\[ \frac{q^3}{q^2} = 5 \implies q = 5 \]

Теперь подставим значение \( q = 5 \) обратно в уравнение (3):

\[ b_1 \cdot 5^2 = \frac{340}{5^2 - 1} = \frac{340}{24} = \frac{85}{6} \]

Отсюда:

\[ b_1 \cdot 25 = \frac{85}{6} \]

Теперь решим это относительно \( b_1 \):

\[ b_1 = \frac{85}{6 \cdot 25} = \frac{85}{150} = \frac{17}{30} \]

Таким образом, первый член \( b_1 = \frac{17}{30} \) и знаменатель прогрессии \( q = 5 \).