Bn геометрическая прогрессии

В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число \( q \), называемое знаменателем прогрессии. Даны условия: - \( b_6 - b_4 = 1700 \) - \( b_5 - b_3 = 340 \) Эти условия можно выразить через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \): 1. \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \) 2. \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \) 3. \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) 4. \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \) Подставим эти выражения в данные условия: 1. \( b_6 - b_4 = b_1 \cdot q^5 - b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1) = 1700 \) 2. \( b_5 - b_3 = b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1) = 340 \) Рассмотрим уравнение (2): \[ b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1) = 340 \] Отсюда получаем: \[ b_1 \cdot q^2 = \frac{340}{q^2 - 1} \quad \text{(3)} \] Рассмотрим уравнение (1): \[ b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1) = 1700 \] Поделим уравнение (1) на уравнение (2): \[ \frac{b_1 \cdot q^3 (q^2 - 1)}{b_1 \cdot q^2 (q^2 - 1)} = \frac{1700}{340} \] Упростим: \[ \frac{q^3}{q^2} = 5 \implies q = 5 \] Теперь подставим значение \( q = 5 \) обратно в уравнение (3): \[ b_1 \cdot 5^2 = \frac{340}{5^2 - 1} = \frac{340}{24} = \frac{85}{6} \] Отсюда: \[ b_1 \cdot 25 = \frac{85}{6} \] Теперь решим это относительно \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{85}{6 \cdot 25} = \frac{85}{150} = \frac{17}{30} \] Таким образом, первый член \( b_1 = \frac{17}{30} \) и знаменатель прогрессии \( q = 5 \).