Дано:
$AC = 70$
$NC = 32$
$MN = 14$
Мы знаем, что $MN = AC - NC$.
Таким образом, $MN = 70 - 32 = 38$.
Так как $AB \parallel MN$, по теореме о параллельных линиях и углах:
$\angle BAN = \angle MNC$ (соответственные углы при параллельных линиях)
Из треугольника $\triangle BAN$ и $\triangle CNC$ мы также видим, что углы $BAN$ и $CNC$ — вертикально противоположные углы и равны.
Теперь, по теореме синусов в $\triangle BAN$:
$\frac{BN}{\sin(\angle BAN)} = \frac{AB}{\sin(\angle ANB)}$
Поскольку $\angle ANB = 180 - \angle BAN - \angle BNA$:
$\angle ANB = 180 - \angle BAN - \angle BNA = 180 - \angle BAN = \angle C$ (угол треугольника $CNC$)
Теперь можем записать:
$\frac{BN}{\sin(\angle BAN)} = \frac{AB}{\sin(C)}$
Заметим, что в $\triangle CNC$:
$\frac{NC}{\sin(C)} = \frac{CN}{\sin(\angle C)} = \frac{CN}{\angle BAN}$
Из этого следует:
$\sin(\angle BAN) = \frac{NC}{CN} = \frac{32}{70} = \frac{16}{35}$
Теперь можем вернуться к уравнению синусов:
$\frac{BN}{\frac{16}{35}} = \frac{AB}{\sin(C)}$
Теперь нам нужно найти $AB$. Для этого заметим, что $\triangle ABC$ и $\triangle CNC$ — подобные (по двум углам, так как $\angle C$ общий и $\angle CNC = \angle CAB$), поэтому:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{CN}$
Отсюда:
$AB = \frac{AC \cdot BC}{CN} = \frac{70 \cdot (70 + 32)}{32} = \frac{70 \cdot 102}{32} = \frac{3570}{32} = \frac{1785}{16} = \frac{357}{8}$
Теперь можем подставить все известные значения в уравнение синусов:
$BN = \frac{16}{35} \cdot \frac{357}{8} = \frac{16 \cdot 357}{280} = \frac{5712}{280} = 20.4$
Итак, $BN = 20.4$.
