2sin2x=cosx

Дано уравнение: \(2\sin(2x) = \cos(x)\). Наша цель - найти все значения \(x\), удовлетворяющие данному уравнению.

1. Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

   • Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).
   • Заменим \(2\sin(2x)\) на \(2 \cdot 2\sin(x)\cos(x) = 4\sin(x)\cos(x)\).

   Получаем уравнение: \(4\sin(x)\cos(x) = \cos(x)\).

2. Теперь приведем уравнение к виду, где все синусы и косинусы находятся на одной стороне:

   \[4\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0\].

3. Сгруппируем общий множитель \(\cos(x)\):

   \[\cos(x)(4\sin(x) - 1) = 0\].

4. Условие равенства произведения равно нулю: \(\cos(x) = 0\) или \(4\sin(x) - 1 = 0\).

   • Для \(\cos(x) = 0\), решением будет \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.
   • Для \(4\sin(x) - 1 = 0\), решая уравнение для синуса, получаем \(\sin(x) = \frac{1}{4}\), что соответствует углу \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \(2\sin(2x) = \cos(x)\) будет \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.