.

Давайте разберем задания по порядку.

Часть 1

1. Решите уравнение \(5^x = 25\)

   Решение: \[ 25 = 5^2 \] \[ 5^x = 5^2 \] При равенстве степеней с общим основанием, показатели равны: \[ x = 2 \] Ответ: \(x = 2\)

2. Решите уравнение \(\log_x (7x + 4) = 1 + \log_x 6\)

   Решение: Преобразуем уравнение: \[ \log_x (7x + 4) = \log_x x + \log_x 6 \] Используя свойства логарифмов: \[ \log_x (7x + 4) = \log_x (6x) \] Равенство логарифмов при равенстве аргументов: \[ 7x + 4 = 6x \] \[ 7x - 6x = -4 \] \[ x = -4 \] Проверка: в логарифме основание и аргумент должны быть положительны. \(x = -4\) не соответствует этому условию, решения нет.

   Ответ: решений нет.

3. Решите уравнение \(8^{x-4} = 4\)

   Решение: Перепишем 4 как степень числа 8: \[ 4 = 8^{2/3} \] \[ 8^{x-4} = 8^{2/3} \] Равенство степеней: \[ x - 4 = \frac{2}{3} \] \[ x = \frac{2}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3} \] Ответ: \(x = \frac{14}{3}\)

Часть 2

4. Укажите решение неравенства \(\log_2 (2x + 7) \geq 2 \log_2 (8 - x)\)

   Решение: Перепишем неравенство, используя свойства логарифмов: \[ \log_2 (2x + 7) \geq \log_2 (8 - x)^2 \] Переходим от логарифмов к неравенству аргументов: \[ 2x + 7 \geq (8 - x)^2 \] Раскроем квадрат: \[ 2x + 7 \geq 64 - 16x + x^2 \] Перейдем к квадратному неравенству: \[ x^2 - 18x + 57 \leq 0 \] Найдем корни квадратного уравнения: \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 57 = 324 - 228 = 96 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{96}}{2} \] \(\sqrt{96} \approx 9.8\): \[ x_1 = \frac{18 + 9.8}{2} = 13.9 \] \[ x_2 = \frac{18 - 9.8}{2} = 4.1 \] Решение неравенства находится между корнями \(4.1 \leq x \leq 13.9\).

   После проверки условий (учтывая кандидаты от -2 до 6 и от 6 до 8) максимально, solution is \([-2, -2.5]\).

Ответ: \([-2, -2.5], (6, 8)\).