3 член геометриичной прогрессии равен 2, а нахоуник равен 3. найдите суму первых 3 членов прагресии

Дано:
\(a_3 = 2\)
\(a_n = 3\)
Найти: Сумма первых трех членов геометрической прогрессии.

Для решения задачи, нам необходимо выразить первый член \(a_1\), общий знаменатель \(q\) и затем найти сумму первых трех членов.

1. Найдем общий знаменатель \(q\):
   Известно, что член прогрессии выражается формулой:
   \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\)

Так как \(n = 3\), то подставим известные значения:
\(2 = a_1 \cdot q^{2}\) ---(1)
\(3 = a_1 \cdot q^{(n-1)} = a_1 \cdot q^{2}\) ---(2)

2. Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы найти \(q\):
   \(\frac{3}{2} = \frac{a_1 \cdot q^{2}}{a_1 \cdot q^{2}}\)
   \(\frac{3}{2} = \frac{q^{2}}{q^{2}}\)
   \(\frac{3}{2} = 1\)
   \(q = \sqrt{3}\)

3. Теперь найдем \(a_1\), подставив значение \(q\) в уравнение (1):
   \(2 = a_1 \cdot 3\)
   \(a_1 = \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)

4. Наконец, найдем сумму первых трех членов прогрессии:
   Сумма первых трех членов геометрической прогрессии выражается формулой:
   \(S_n = a_1 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\)

Подставим найденные значения \(a_1\), \(q\), \(n = 3\) в формулу:
\(S_3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3 - 1}\)
\(S_3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{27 - 1}{2}\)
\(S_3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{26}{2}\)
\(S_3 = \frac{2}{3} \cdot 13\)
\(S_3 = \frac{26}{3}\)
\(S_3 = \frac{26}{3}\)

Таким образом, сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна \(\frac{26}{3}\) или \(8.\bar{6}\).