Чтобы система уравнений имела бесконечно много решений, эти уравнения должны быть линейно зависимыми, то есть они должны быть эквивалентны, возможно, с некоторым множителем.
Даны уравнения:
- (\frac{z}{5} = \frac{y}{4} = mz)
- (5z - 4y = 2)
Анализ первого уравнения
Запишем его в виде:
[
\frac{z}{5} = \frac{y}{4} = mz
]
Это означает, что:
[
z = 5c, \quad y = 4c, \quad mz = c
]
Отсюда:
[
z = 5c \implies mz = c \implies m(5c) = c \implies 5mc = c
]
[
5m = 1 \implies m = \frac{1}{5}
]
Анализ второго уравнения
Подставим значения (z = 5c) и (y = 4c) во второе уравнение:
[
5(5c) - 4(4c) = 2
]
[
25c - 16c = 2
]
[
9c = 2 \implies c = \frac{2}{9}
]
Значения (z) и (y):
[
z = 5 \cdot \frac{2}{9} = \frac{10}{9}
]
[
y = 4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{9}
]
Подставим (m = \frac{1}{5}), чтобы уравнения были эквивалентны. Проверим:
[
\frac{z}{5} = \frac{y}{4} = mz
]
[
\frac{\frac{10}{9}}{5} = \frac{\frac{8}{9}}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{9}
]
[
\frac{10}{45} = \frac{8}{36} = \frac{10}{45}
]
Всё выполняется корректно при (m = \frac{1}{5}).
Таким образом, для того чтобы система имела бесконечно много решений, (m) должно быть равно (\frac{1}{5}).
Ответ: (\frac{1}{5}).
