Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Давайте разберём решение уравнения \( \frac{13x}{x^2 - 4} = 1 \).
Шаг 1: Приведение уравнения к общему виду
Начнём с уравнения:
\[ \frac{13x}{x^2 - 4} = 1 \]
Умножим обе стороны на \( x^2 - 4 \), чтобы избавиться от дроби:
\[ 13x = x^2 - 4 \]
Шаг 2: Преобразование уравнения
Перенесём все члены в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 13x - 4 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое мы будем решать с помощью дискриминанта.
Шаг 3: Нахождение дискриминанта
Квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -13 \), \( c = -4 \).
Дискриминант вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим известные значения:
\[ D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 169 + 16 = 185 \]
Шаг 4: Нахождение корней
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим найденные значения:
\[ x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{185}}{2} \]
Шаг 5: Выбор меньшего корня
Найдём корни:
- \( x_1 = \frac{13 + \sqrt{185}}{2} \)
- \( x_2 = \frac{13 - \sqrt{185}}{2} \)
Меньший из корней:
\[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{185}}{2} \]
Таким образом, меньший корень данного уравнения:
\[ x = \frac{13 - \sqrt{185}}{2} \]
Это и будет конечным ответом.
