Давайте разберём решение уравнения ( \frac{13x}{x^2 - 4} = 1 ).
Шаг 1: Приведение уравнения к общему виду
Начнём с уравнения:
[
\frac{13x}{x^2 - 4} = 1
]
Умножим обе стороны на ( x^2 - 4 ), чтобы избавиться от дроби:
[
13x = x^2 - 4
]
Шаг 2: Преобразование уравнения
Перенесём все члены в одну сторону уравнения:
[
x^2 - 13x - 4 = 0
]
Это квадратное уравнение, которое мы будем решать с помощью дискриминанта.
Шаг 3: Нахождение дискриминанта
Квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = -13 ), ( c = -4 ).
Дискриминант вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим известные значения:
[
D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 169 + 16 = 185
]
Шаг 4: Нахождение корней
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим найденные значения:
[
x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{185}}{2}
]
Шаг 5: Выбор меньшего корня
Найдём корни:
- ( x_1 = \frac{13 + \sqrt{185}}{2} )
- ( x_2 = \frac{13 - \sqrt{185}}{2} )
Меньший из корней:
[
x_2 = \frac{13 - \sqrt{185}}{2}
]
Таким образом, меньший корень данного уравнения:
[
x = \frac{13 - \sqrt{185}}{2}
]
Это и будет конечным ответом.
