2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2v2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Цель:
Цель задачи состоит в нахождении площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды.
Решение:
Дано, что высота пирамиды равна \(2\sqrt{2}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Обозначим сторону основания пирамиды через \(a\). Так как имеем дело с правильной четырехугольной пирамидой, то это основание – квадрат, соответственно \(a = a_1 = a_2\).
Найдем длину бокового ребра пирамиды. Рассмотрим боковую грань пирамиды, которая представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(a\) и боковым ребром (\(l\), например). Тогда применив теорему косинусов, получим:
\(a^2 + a^2 = l^2\), так как угол наклона 45°.
\(2a^2 = l^2\).
\(l = a\sqrt{2}\).
Теперь найдем площадь поверхности пирамиды. Она состоит из площади основания и площадей боковых граней.
Площадь основания: \(Area_{\text{base}} = a^2\)
Четыре боковые грани с одинаковой формой и площадью: \(Area_{\text{sides}} = \frac{1}{2} \times Perimeter_{\text{base}} \times l\), где \(Perimeter_{\text{base}} = 4a\).
Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды равна:
\(A = Area_{\text{base}} + 4 \times Area_{\text{sides}}\)
\(A = a^2 + 4 \times \frac{1}{2} \times 4a \times a\sqrt{2}\)
\(A = a^2 + 8a^2\sqrt{2}\)
\(A = a^2 (1 + 8\sqrt{2})\)
Подставляем значение стороны основания \(a = 2\sqrt{2}\) см, получаем:
\(A = (2\sqrt{2})^2 (1 + 8\sqrt{2})\)
\(A = 8 (1 + 8\sqrt{2})\)
\(A = 8 + 64\sqrt{2}\)
Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(8 + 64\sqrt{2}\) квадратных сантиметров.
