2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2v2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

**Цель:** Цель задачи состоит в нахождении площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды. **Решение:** 1. Дано, что высота пирамиды равна $2\sqrt{2}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. 2. Обозначим сторону основания пирамиды через $a$. Так как имеем дело с правильной четырехугольной пирамидой, то это основание – квадрат, соответственно $a = a_1 = a_2$. 3. Найдем длину бокового ребра пирамиды. Рассмотрим боковую грань пирамиды, которая представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами $a$, $a$ и боковым ребром ($l$, например). Тогда применив теорему косинусов, получим: $a^2 + a^2 = l^2$, так как угол наклона 45°. $2a^2 = l^2$. $l = a\sqrt{2}$. 4. Теперь найдем площадь поверхности пирамиды. Она состоит из площади основания и площадей боковых граней. - Площадь основания: $Area_{\text{base}} = a^2$ - Четыре боковые грани с одинаковой формой и площадью: $Area_{\text{sides}} = \frac{1}{2} \times Perimeter_{\text{base}} \times l$, где $Perimeter_{\text{base}} = 4a$. - Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды равна: $A = Area_{\text{base}} + 4 \times Area_{\text{sides}}$ $A = a^2 + 4 \times \frac{1}{2} \times 4a \times a\sqrt{2}$ $A = a^2 + 8a^2\sqrt{2}$ $A = a^2 (1 + 8\sqrt{2})$ 5. Подставляем значение стороны основания $a = 2\sqrt{2}$ см, получаем: $A = (2\sqrt{2})^2 (1 + 8\sqrt{2})$ $A = 8 (1 + 8\sqrt{2})$ $A = 8 + 64\sqrt{2}$ Таким образом, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна $8 + 64\sqrt{2}$ квадратных сантиметров.