Решите неравенство 2х° + 3x + 37 < (х + 7)*. 1250. Решите неравенство 3х2 + 4х + 1 < (х + 7)°. 1251. Решите неравенство 3х2 + 3х - 6 < (х - 1)". 1252. Решите неравенство 3х* - 5х…

Давайте разберём решение неравенства №1250:

Неравенство: \[ 3x^2 + 4x + 1 < (x + 7)^2 \]

Шаг 1: Раскрытие скобок \[ (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 \]

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону \[ 3x^2 + 4x + 1 - (x^2 + 14x + 49) < 0 \]

Шаг 3: Упрощение \[ 3x^2 + 4x + 1 - x^2 - 14x - 49 < 0 \\ 2x^2 - 10x - 48 < 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного неравенства Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 10x - 48 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-48) = 100 + 384 = 484 \]

Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 22}{4} \]

\[ x_1 = \frac{32}{4} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \]

Шаг 5: Знаки неравенства Рассмотрим интервалы на числовой прямой: \((-\infty, -3)\), \((-3, 8)\), \((8, \infty)\).

Возьмём тестовые точки из каждого интервала и подставим в выражение \(2x^2 - 10x - 48\):

• Для \((-\infty, -3)\), например \(x = -4\): \[ 2(-4)^2 - 10(-4) - 48 = 32 + 40 - 48 = 24 > 0 \]

• Для \((-3, 8)\), например \(x = 0\): \[ 2(0)^2 - 10(0) - 48 = -48 < 0 \]

• Для \((8, \infty)\), например \(x = 9\): \[ 2(9)^2 - 10(9) - 48 = 162 - 90 - 48 = 24 > 0 \]

Таким образом, неравенство выполняется на интервале \((-3, 8)\).

Ответ: \[ x \in (-3, 8) \]