значение производной функции в точке

Для решения задачи найдем производную функции \( y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25} \) и определим ее значение в точке \( x_0 = 3 \).

Шаг 1: Найдем производную функции

Функция задана в виде \( y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25} \). Удобнее сначала упростить её:

1. Посмотрим на содержимое подкоренного выражения: \( 4x^2 - 20x + 25 \).

2. Попробуем разложить его на множители:

   \( (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \).

Таким образом, функция \( y = \sqrt{(2x - 5)^2} = |2x - 5| \).

Поскольку нас интересует производная в точке \( x_0 = 3 \), а \( 2 \times 3 - 5 = 1 \), то можно убрать модуль, и функция становится линейной:

\( y = 2x - 5 \), \( x \geq \frac{5}{2} \).

Шаг 2: Найдем производную

Производная функции \( y = 2x - 5 \) равна:

\[ y' = 2. \]

Шаг 3: Определим значение производной в точке \( x_0 = 3 \)

Поскольку производная \( y' = 2 \) — константа, то в любой точке, включая \( x = 3 \), производная будет равна 2.

Ответ

Значение производной функции в точке \( x_0 = 3 \) равно 2.