Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' равен 21. Чему равен объём пирамиды A'ABCD?

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться свойством подобных фигур.

Параллелепипед ABCDA'B'C'D' и пирамида A'ABCD являются подобными фигурами, так как у них соответствующие грани параллельны друг другу.

Свойство подобных фигур гласит, что отношение объемов подобных фигур равно кубу отношения соответствующих сторон.

Обозначим стороны параллелепипеда как a, b и c, а сторону пирамиды как h (высота пирамиды), тогда имеем:

Обозначим V1 - объем параллелепипеда, V2 - объем пирамиды. Также, из условия задачи, известно, что V1 = 21.

\[ \frac{V2}{V1} = \left(\frac{h}{c}\right)^3 \]

\[ \frac{V2}{21} = \left(\frac{h}{c}\right)^3 \]

Так как высота пирамиды A'ABCD равна a (стороне параллелепипеда), то h = a.

Из подобия фигур имеем:

\[ \frac{a}{c} = \frac{1}{3} \]

Тогда, подставляя это в уравнение, получаем:

\[ \frac{V2}{21} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]

\[ V2 = 21 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]

\[ V2 = 21 \times \frac{1}{27} \]

\[ V2 = \frac{21}{27} \]

\[ V2 = \frac{7}{9} \]

Итак, объем пирамиды A'ABCD равен \( \frac{7}{9} \).