Известно, что ∠KMN=∠KNM,KN+NR+RK=35.    Периметр треугольника KMN равен 50. Найдите длину отрезка KR.

**Решение:** Дано: - \( \angle KMN = \angle KNM \) (то есть углы при вершине равны) - \( KN + NR + RK = 35 \) (сумма длин трех отрезков) - Периметр треугольника \( KMN = 50 \) Обозначим длину отрезка \( KN \) как \( x \), длину отрезка \( NR \) как \( y \), и длину отрезка \( RK \) как \( z \). Так как углы при вершине равны, треугольник \( KMN \) является равнобедренным, что означает \( KM = MN = x \). Также, из условия периметра \( KN + NR + RK = 50 \), получаем уравнение: \[ x + y + z = 50 \] Так как углы при вершине равны, отрезки \( KN \) и \( NM \) равны, а отрезок \( NR \) равен \( y \). Таким образом, \[ KN + NR + RK = x + y + z = 35 \] Из двух уравнений найдем значения \( x = KM = MN = 35/2 = 17.5 \) и \( y = NR = RK \). Теперь, чтобы найти длину отрезка \( KR \), который обозначен как \( z \), запишем уравнение \( x + y + z = 50 \): \[ 17.5 + 2y = 50 \] \[ 2y = 50 - 17.5 \] \[ 2y = 32.5 \] \[ y = 32.5 / 2 \] \[ y = 16.25 \] Таким образом, длина отрезка \( KR \) равна \( z = RK = 16.25 \).