Известно, что ∠KMN=∠KNM,KN+NR+RK=35. Периметр треугольника KMN равен 50. Найдите длину отрезка KR.

Решение:

Дано:

• \( \angle KMN = \angle KNM \) (то есть углы при вершине равны)
• \( KN + NR + RK = 35 \) (сумма длин трех отрезков)
• Периметр треугольника \( KMN = 50 \)

Обозначим длину отрезка \( KN \) как \( x \), длину отрезка \( NR \) как \( y \), и длину отрезка \( RK \) как \( z \).

Так как углы при вершине равны, треугольник \( KMN \) является равнобедренным, что означает \( KM = MN = x \). Также, из условия периметра \( KN + NR + RK = 50 \), получаем уравнение:

\[ x + y + z = 50 \]

Так как углы при вершине равны, отрезки \( KN \) и \( NM \) равны, а отрезок \( NR \) равен \( y \). Таким образом,

\[ KN + NR + RK = x + y + z = 35 \]

Из двух уравнений найдем значения \( x = KM = MN = 35/2 = 17.5 \) и \( y = NR = RK \).

Теперь, чтобы найти длину отрезка \( KR \), который обозначен как \( z \), запишем уравнение \( x + y + z = 50 \):

\[ 17.5 + 2y = 50 \]

\[ 2y = 50 - 17.5 \]

\[ 2y = 32.5 \]

\[ y = 32.5 / 2 \]

\[ y = 16.25 \]

Таким образом, длина отрезка \( KR \) равна \( z = RK = 16.25 \).