Вычислить

Для решения данных логарифмических выражений нужно вспомнить основные свойства логарифмов.

1. \(\log_{2} 32\)

32 — это \(2^5\), поэтому: \[ \log_{2} 32 = \log_{2} (2^5) = 5 \]

2. \(\log_{11} \left(\frac{1}{11}\right)\)

\(\frac{1}{11}\) можно переписать как \(11^{-1}\), поэтому: \[ \log_{11} \left(\frac{1}{11}\right) = \log_{11} (11^{-1}) = -1 \]

3. \(\log_{3} \left(\frac{1}{27}\right)\)

27 — это \(3^3\), и \(\frac{1}{27}\) — это \(3^{-3}\), поэтому: \[ \log_{3} \left(\frac{1}{27}\right) = \log_{3} (3^{-3}) = -3 \]

4. \(\log_{0.2} 125\)

Это можно выразить через основание 10 для удобства и используя свойства логарифмов: \[ \log_{0.2} 125 = \frac{\log_{10} 125}{\log_{10} 0.2} \] Используя логарифмическое преобразование и таблицы или калькулятор для расчета, можно получить приближенные значения: \[ \log_{10} 125 \approx 2.096 \quad \text{и} \quad \log_{10} 0.2 \approx -0.699 \] \[ \log_{0.2} 125 = \frac{2.096}{-0.699} \approx -3 \]

5. \(\log_{32} 64\)

64 — это \(32^{3/2}\), поэтому: \[ \log_{32} 64 = \log_{32} (32^{3/2}) = \frac{3}{2} \]

6. \(\log_{7} 49\sqrt{7}\)

49 — это \(7^2\) и \(49\sqrt{7} = 7^2 \times 7^{1/2} = 7^{2.5}\), поэтому: \[ \log_{7} (49\sqrt{7}) = \log_{7} (7^{2.5}) = 2.5 \]

Если есть дополнительные вопросы или требуется пояснение, смело спрашивайте!