Верно ли это равенство?

Чтобы понять, верно ли данное равенство, нам нужно вычислить предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2 + 2n} \]

1. Анализ дроби:

У нас есть дробь \(\frac{n+1}{n^2 + 2n}\). Для больших значений \(n\), наибольший вклад в числитель даёт \(n\), а в знаменатель — \(n^2\). Таким образом, мы можем переписать дробь, разделив числитель и знаменатель на \(n^2\):

\[ \frac{\frac{n+1}{n^2}}{\frac{n^2 + 2n}{n^2}} = \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2n}{n^2}} \]

2. Упрощение дроби:

Это можно упростить до:

\[ \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n}} \]

3. Предел:

Рассмотрим поведение каждого члена при \(n \to \infty\):

• \(\frac{1}{n} \to 0\)
• \(\frac{1}{n^2} \to 0\)
• \(\frac{2}{n} \to 0\)

Таким образом, дробь упрощается до:

\[ \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \]

Следовательно,

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2 + 2n} = 0 \]

Вывод:

Данное равенство неверно, так как предел равен 0, а не 1.