Чтобы понять, верно ли данное равенство, нам нужно вычислить предел:
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2 + 2n}
]
1. Анализ дроби:
У нас есть дробь (\frac{n+1}{n^2 + 2n}). Для больших значений (n), наибольший вклад в числитель даёт (n), а в знаменатель — (n^2). Таким образом, мы можем переписать дробь, разделив числитель и знаменатель на (n^2):
[
\frac{\frac{n+1}{n^2}}{\frac{n^2 + 2n}{n^2}} = \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2n}{n^2}}
]
2. Упрощение дроби:
Это можно упростить до:
[
\frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n}}
]
3. Предел:
Рассмотрим поведение каждого члена при (n \to \infty):
- (\frac{1}{n} \to 0)
- (\frac{1}{n^2} \to 0)
- (\frac{2}{n} \to 0)
Таким образом, дробь упрощается до:
[
\frac{0 + 0}{1 + 0} = 0
]
Следовательно,
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2 + 2n} = 0
]
Вывод:
Данное равенство неверно, так как предел равен 0, а не 1.
