Реши все задания

Задача 1

В группе работников 15 человек. Нужно выбрать двух для участия в конкурсе случайным образом. Вероятность выбранных работников из фирмы "Аврора" составляет 0,4.

Решение:

1. Найдем общее количество способов выбрать 2 человека из 15:

   Формула комбинаторики для выбора \(k\) элементов из \(n\) без учета порядка:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   Подставляем значения:

   \[ C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \]

2. Обозначим количество работников в фирме "Аврора" за \(x\).

   Тогда общее количество работников из остальных фирм:

   \[ 15 - x \]

3. Найдем количество случаев, когда оба работника из "Авроры":

   \[ C(x, 2) \]

4. Составим уравнение для вычисления \(x\):

   Вероятность выбрать двух работников из "Авроры":

   \[ \frac{C(x, 2)}{105} = 0.4 \]

5. Найдем \(C(x, 2)\) выражая через \(x\):

   \[ \frac{x(x-1)}{2} = 42 \]

   \[ x^2 - x - 84 = 0 \]

6. Решим квадратное уравнение:

   Дискриминант:

   \[ D = 1 + 4 \times 84 = 337 \]

   Квадратный корень из дискриминанта:

   \[ \sqrt{D} \approx 18.36 \]

   Корни уравнения:

   \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{337}}{2} \approx 9.68, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{337}}{2} \approx -8.68 \]

7. Целые корни:

   Принимаем \(x = 9\) как единственно возможный целый положительный корень.

Задача 2

Нам необходимо найти вероятность того, что из выбранных двух работников оба окажутся из фирмы "Аврора".

Решение:

1. Учитываем, что удалось определить количество работников из "Авроры": \(x = 9\).

2. Вычислим число способов выбрать двух работников из "Авроры":

   \[ C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2} = 36 \]

3. Вероятность того, что оба работника – из "Авроры":

   \[ \frac{36}{105} \approx 0.343 \]

Таким образом, вероятность события равна \(0.343\).