Давайте решим задачу, где сумма двух чисел равна 25, а произведение равно 100. Обозначим числа за ( x ) и ( y ). Тогда у нас есть следующие уравнения:
- ( x + y = 25 )
- ( x \cdot y = 100 )
Чтобы найти ( x ) и ( y ), воспользуемся методом подстановки или системой уравнений. Для простоты воспользуемся квадратным уравнением. Из первого уравнения выразим ( y ):
[ y = 25 - x ]
Подставим ( y ) во второе уравнение:
[ x \cdot (25 - x) = 100 ]
Раскрываем скобки:
[ 25x - x^2 = 100 ]
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
[ x^2 - 25x + 100 = 0 ]
Теперь найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта (( D )):
Дискриминант (( D )) рассчитывается по формуле:
[ D = b^2 - 4ac ]
где ( a = 1 ), ( b = -25 ), ( c = 100 ).
Подставляем значения:
[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 ]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставляем значение:
[ x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{2} ]
[ x_{1,2} = \frac{25 \pm 15}{2} ]
Получаем два корня:
- ( x_1 = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20 )
- ( x_2 = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
Подставляя эти значения в выражение для ( y ):
- Если ( x = 20 ), то ( y = 25 - 20 = 5 ).
- Если ( x = 5 ), то ( y = 25 - 5 = 20 ).
Таким образом, числа — это 20 и 5.
