В треугольнике ABC : ∠B =39∘, AB = BC. Найдите внешний угол при вершине A. Ответ дайте в градусах.
Давайте разберём задачу пошагово.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \): \( \angle B = 39^\circ \).
- \( AB = BC \) (треугольник равнобедренный по сторонам \( AB \) и \( BC \)).
Задача: найти внешний угол при вершине \( A \).
Шаг 1: Сделаем рисунок и обозначения
Обозначим:
- \( \angle A \) — внутренний угол в вершине \( A \) (нужно найти).
- \( \angle B = 39^\circ \) — известно.
- \( \angle C \) — также нужно определить.
Поскольку \( AB = BC \), треугольник равнобедренный по сторонам \( AB \) и \( BC \). В равнобедренном треугольнике углы у оснований равны. В данном случае основания — это стороны, прилегающие к вершине \( B \).
Шаг 2: Обозначим углы
Обозначим:
- \( \angle ABC = 39^\circ \) (это угол при вершине \( B \)).
- Пусть \( \angle BAC = \alpha \).
- Пусть \( \angle ACB = \gamma \).
Так как \( AB = BC \), то углы при вершинах \( A \) и \( C \) у равнобедренного треугольника \( ABC \) связаны.
Шаг 3: Связь углов
В треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому:
\[
\alpha + 39^\circ + \gamma = 180^\circ.
\]
Также, так как \( AB = BC \), то углы при вершинах \( A \) и \( C \) равны или связаны. В случае равнобедренного треугольника, где боковые стороны равны, углы при вершинах \( A \) и \( C \) равны:
\[
\alpha = \gamma.
\]
Обозначим:
\[
\alpha = \gamma.
\]
Тогда:
\[
\alpha + 39^\circ + \alpha = 180^\circ,
\]
\[
2\alpha + 39^\circ = 180^\circ,
\]
\[
2\alpha = 180^\circ - 39^\circ = 141^\circ,
\]
\[
\alpha = \frac{141^\circ}{2} = 70.5^\circ.
\]
Следовательно:
\[
\angle A = 70.5^\circ,
\]
\[
\angle C = 70.5^\circ.
\]
Шаг 4: Внешний угол при вершине \( A \)
Внешний угол при вершине — это угол, образованный продолжением стороны, идущей из этой вершины, с соседней стороной. Внутренний угол при \( A \) — 70.5°, значит внешний угол при \( A \) равен:
\[
180^\circ - \text{внутренний угол } A = 180^\circ - 70.5^\circ = 109.5^\circ.
\]
Ответ:
Внешний угол при вершине \( A \) равен \(\boxed{109.5^\circ}\).
