|x+7| - 3x > 2
Конечно! Вот подробное решение неравенства:
\[ |x + 7| - 3x > 2 \]
Шаг 1: Перенесем все в одну сторону
Добавим 3x к обеим частям неравенства:
\[ |x + 7| > 3x + 2 \]
Шаг 2: Разобьём неравенство на случаи в зависимости от выражения внутри модуля
Модуль \(|x+7|\) зависит от знака выражения \(x + 7\).
Случай 1: \(x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7\)
Случай 2: \(x + 7 < 0 \Rightarrow x < -7\)
Случай 1: \(x \geq -7\)
Здесь \(|x + 7| = x + 7\). Тогда неравенство становится:
\[ x + 7 > 3x + 2 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ x + 7 - 3x - 2 > 0 \]
Упростим:
\[ -2x + 5 > 0 \]
Решим неравенство относительно \(x\):
\[ -2x > -5 \]
Делим обе части на \(-2\), при этом знак неравенства меняется на противоположный:
\[ x < \frac{5}{2} \]
Теперь рассматриваем условие этого случая \(x \geq -7\):
Объединяем оба условия:
\[ -7 \leq x < \frac{5}{2} \]
Случай 2: \(x < -7\)
Здесь \(|x + 7| = -(x + 7) = -x - 7\). Тогда неравенство:
\[ -x - 7 > 3x + 2 \]
Перенесем всё в левую сторону:
\[ -x - 7 - 3x - 2 > 0 \]
Упростим:
\[ -4x - 9 > 0 \]
Решим относительно \(x\):
\[ -4x > 9 \]
Делим обе части на \(-4\), знак меняется:
\[ x < -\frac{9}{4} \]
Но помним, что этот случай рассматривается только при условии:
\[ x < -7 \]
Так как \(-7 < -\frac{9}{4}\) (так как \(-7 \approx -7.0\), а \(-9/4 = -2.25\)), то условие, при котором \(x < -7\), уже включает все \(x\), меньшие \(-7\). Поэтому в данном случае получается:
\[ x < -7 \]
Итоговые решения
Объединяем полученные интервалы:
\[ x < -7 \quad \text{или} \quad -7 \leq x < \frac{5}{2} \]
или в виде объединения интервалов:
\[ (-\infty, -7) \cup [-7, \frac{5}{2}) \]
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-\infty, -7) \cup [-7, \frac{5}{2}) } \]
Если есть ещё вопросы — спрашивайте!
