Дано:
- Вероятность успешной передачи SMS в одной попытке ( p = 0,1 ).
- Необходимость определения вероятности того, что для передачи потребуется от 2 до 4 попыток, то есть ( P(2 \leq \text{попытки} \leq 4) ).
Рассмотрим вероятности для каждого числа попыток:
- ( P(\text{успех впервые на } k)-й попытке) — это вероятность того, что первые ( k-1 ) попыток не увенчались успехом, а ( k )-я — успешна.
Формула:
[ P(\text{успех впервые на } k\text{-й попытке}) = (1-p)^{k-1} \times p ]
Требуемая вероятность — сумма вероятностей, что первый успех случится на 2, 3 или 4-й попытке:
[
P(2 \leq \text{попытки} \leq 4) = P(\text{успех впервые на 2-й}) + P(\text{успех впервые на 3-й}) + P(\text{успех впервые на 4-й})
]
Подставим значения:
[
P(\text{успех впервые на 2-й}) = (1-p)^{1} \times p
]
[
P(\text{успех впервые на 3-й}) = (1-p)^{2} \times p
]
[
P(\text{успех впервые на 4-й}) = (1-p)^{3} \times p
]
Подставим ( p=0,1 ):
[
P = (1-0,1)^{1} \times 0,1 + (1-0,1)^{2} \times 0,1 + (1-0,1)^{3} \times 0,1
]
[
P = (0,9)^1 \times 0,1 + (0,9)^2 \times 0,1 + (0,9)^3 \times 0,1
]
[
P = 0,9 \times 0,1 + 0,81 \times 0,1 + 0,729 \times 0,1
]
[
P = 0,09 + 0,081 + 0,0729
]
Суммируем:
[
P = 0,09 + 0,081 + 0,0729 = 0,2439
]
Ответ: вероятность того, что для передачи потребуется от двух до четырёх попыток, равна 0,2439 или примерно 24,39%.
