В школьном конкурсе чтецов 10 участников: трое из 5 класса, четверо из 6 класса и трое из 7 класса. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что первым и…

Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять весь процесс.

Описание задачи:

• В конкурсе участвуют 10 участников.
• Распределение по классам:
  • 3 участника из 5 класса
  • 4 участника из 6 класса
  • 3 участника из 7 класса
• Порядок выступлений выбирается случайным образом, то есть все возможные порядки равновероятны.
• Требуется найти вероятность того, что в начале и в конце выступления будут участники из 5 класса.

Шаг 1: общее число возможных вариантов последовательностей

Общее количество способов расположить 10 участников в порядке — это просто число перестановок 10 человек:

\[ \text{Общее число вариантов} = 10! \]

Шаг 2: условия для вероятности

Нам нужно, чтобы:

• Первый участник — из 5 класса
• Последний участник — из 5 класса

Обозначим участников 5 класса: \( A, B, C \)

Шаг 3: подсчет подходящих вариантов

Первым выступает один из 3 участников из 5 класса.
Аналогично, последним — тоже один из оставшихся участников из 5 класса.

Обратите внимание:

• После выбора первого участника из 5 класса у нас остается 2 участника из 5 класса.
• После выбора первого участника мы остаемся с 9 участниками, один из которых — тот же, что будет на последней позиции.

Шаг 4: выбор участников для первых и последних позиций

1. Выбираем участника из 3 пятиклассников для первой позиции:
   \[ 3 \text{ варианта} \]

2. Выбираем участника из оставшихся 2 пятиклассников для последней позиции:
   \[ 2 \text{ варианта} \]

Общее число способов выбрать участников для первых и последних позиций:
\[ 3 \times 2 = 6 \]

Шаг 5: размещение остальных участников

После выбора участников для первой и последней позиций остается 8 участников (все остальные — без изменений):

• Осталось 1 пятиклассника (тот, которого мы не выбрали для границ, если было более одного)
• Все участники из 6 и 7 классов, а также оставшийся пятиклассник без места.

Количество вариантов для расположения остальных 8 участников в середине:
\[ 8! \]

Шаг 6: итоговое число подходящих вариантов

Общее число вариантов, при которых первые и последние выступают пятиклассники:

\[ 6 \times 8! \]

Шаг 7: вычисление вероятности

Искомая вероятность — это отношение числа подходящих вариантов к общему числу всех вариантов:

\[ P = \frac{6 \times 8!}{10!} \]

Выразим \(10!\) через \(8!\):

\[ 10! = 10 \times 9 \times 8! \]

Таким образом:

\[ P = \frac{6 \times 8!}{10 \times 9 \times 8!} = \frac{6}{10 \times 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{1}{15}} \]

Итак, вероятность того, что первым и последним выступают пятиклассники, равна \(\frac{1}{15}\).