В школьном конкурсе чтецов 10 участников: трое из 5 класса, четверо из 6 класса и трое из 7 класса. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что первым и последним будут выступать пятиклассники?

Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять весь процесс. Описание задачи: - В конкурсе участвуют 10 участников. - Распределение по классам: - 3 участника из 5 класса - 4 участника из 6 класса - 3 участника из 7 класса - Порядок выступлений выбирается случайным образом, то есть все возможные порядки равновероятны. - Требуется найти вероятность того, что в начале и в конце выступления будут участники из 5 класса. --- ### Шаг 1: общее число возможных вариантов последовательностей Общее количество способов расположить 10 участников в порядке — это просто число перестановок 10 человек: \[ \text{Общее число вариантов} = 10! \] --- ### Шаг 2: условия для вероятности Нам нужно, чтобы: - Первый участник — из 5 класса - Последний участник — из 5 класса Обозначим участников 5 класса: \( A, B, C \) ### Шаг 3: подсчет подходящих вариантов Первым выступает один из 3 участников из 5 класса. Аналогично, последним — тоже один из оставшихся участников из 5 класса. **Обратите внимание:** - После выбора первого участника из 5 класса у нас остается 2 участника из 5 класса. - После выбора первого участника мы остаемся с 9 участниками, один из которых — тот же, что будет на последней позиции. --- ### Шаг 4: выбор участников для первых и последних позиций 1. Выбираем участника из 3 пятиклассников для первой позиции: \[ 3 \text{ варианта} \] 2. Выбираем участника из оставшихся 2 пятиклассников для последней позиции: \[ 2 \text{ варианта} \] Общее число способов выбрать участников для первых и последних позиций: \[ 3 \times 2 = 6 \] --- ### Шаг 5: размещение остальных участников После выбора участников для первой и последней позиций остается 8 участников (все остальные — без изменений): - Осталось 1 пятиклассника (тот, которого мы не выбрали для границ, если было более одного) - Все участники из 6 и 7 классов, а также оставшийся пятиклассник без места. Количество вариантов для расположения остальных 8 участников в середине: \[ 8! \] --- ### Шаг 6: итоговое число подходящих вариантов Общее число вариантов, при которых первые и последние выступают пятиклассники: \[ 6 \times 8! \] ### Шаг 7: вычисление вероятности Искомая вероятность — это отношение числа подходящих вариантов к общему числу всех вариантов: \[ P = \frac{6 \times 8!}{10!} \] Выразим \(10!\) через \(8!\): \[ 10! = 10 \times 9 \times 8! \] Таким образом: \[ P = \frac{6 \times 8!}{10 \times 9 \times 8!} = \frac{6}{10 \times 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{\frac{1}{15}} \] **Итак, вероятность того, что первым и последним выступают пятиклассники, равна \(\frac{1}{15}\).**