Давайте разберемся с этой задачей поэтапно.
Что такое период полураспада?
Период полураспада — это время, за которое распадается половина радиоактивных ядер, начавших распадать.
Что означает "распадается за время, равное 2,5 периодам"?
Это время, равное 2,5 умноженному на период полураспада.
Шаг 1. Напоминание о законе радиоактивного распада
Количество оставшихся ядер после времени t определяется формулой:
[ N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} ]
где:
- ( N_0 ) — начальное количество ядер,
- ( N(t) ) — количество ядер после времени t,
- ( T_{1/2} ) — период полураспада,
- t — прошедшее время.
Шаг 2. Подставим t = 2,5 * ( T_{1/2} )
Рассчитаем долю оставшихся ядер:
[ N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2,5 T_{1/2}}{T_{1/2}}} = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2,5} ]
Шаг 3. Вычислим значение (\left(\frac{1}{2}\right)^{2,5})
Это можно представить как:
[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2,5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{0,5} ]
- (\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4})
- (\left(\frac{1}{2}\right)^{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707)
Тогда:
[ \left(\frac{1}{2}\right)^{2,5} \approx \frac{1}{4} \times 0,707 \approx 0,177 ]
Ответ:
Доля оставшихся ядер после 2,5 периодов составляет примерно 17,7%.
Значит, распадается:
[ 100% - 17,7% = 82,3% ]
Итог:
За время, равное 2,5 периодам полураспада, распадается около 82,3% радиоактивных ядер.
