Реши этот пример чТерез метод интервалов

Давайте решим данный неравенство методом интервалов. Вот исходное неравенство:

\[ \frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 (x - 8)^2 (4 - x)^3} \geq 0 \]

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

Обратим внимание, что числитель — это квадрат бинома:

\[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

Значит, наше неравенство запишется так:

\[ \frac{(x - 3)^2}{x^3 (x - 8)^2 (4 - x)^3} \geq 0 \]

Шаг 2: Обозначим нули на числителе и знаменателе

• Нули числителя: \(x = 3\). Так как это квадрат, знак перед ним всегда неотрицателен — он равен нулю при \(x = 3\), и положителен для остальных \(x\).

• Нули знаменателя: это точки, где знаменатель равен нулю, а именно:

  • \(x = 0\),
  • \(x = 8\),
  • \(x = 4\).

Обратите внимание, что \(4 - x = 0\) при \(x = 4\). Это точка разрыва, и она должна быть исключением из области определения.

Шаг 3: Запишем знаки каждого множителя

• \((x - 3)^2 \geq 0\) всегда, и равен нулю при \(x=3\).
• \(x^3\):
  • \(x > 0\): \(x^3 > 0\),
  • \(x < 0\): \(x^3 < 0\).
• \((x - 8)^2 \geq 0\), и равен нулю при \(x=8\), неотрицателен для всех \(x\).
• \((4 - x)^3\):
  • при \(x < 4\): \(4 - x > 0\), значит \((4 - x)^3 > 0\),
  • при \(x > 4\): \(4 - x < 0\), значит \((4 - x)^3 < 0\),
  • при \(x=4\): равно нулю, точка исключения.

Шаг 4: Построим числовую ось и отметим важные точки

Точки: \(-\infty, 0, 3, 4, 8, +\infty\).

Рассмотрим знак выражения на каждом интервале:

• \((-\infty, 0)\),
• \((0, 3)\),
• \((3, 4)\),
• \((4, 8)\),
• \((8, +\infty)\).

Учтём нули и знаки.

Шаг 5: Анализ интервалов

Интервал \((-\infty, 0)\):

• \(x < 0\):

\[ x^3 < 0 \Rightarrow \text{отрицателен} \] \[ (4 - x) > 0 \Rightarrow (4 - x)^3 > 0 \] \[ (x - 3)^2 > 0 \]

Значит, знаменатель: знак суммы — отрицательный (отрицательный \(\times\) положительный \(\times\) отрицательный):

\[ x^3 < 0 \Rightarrow \text{отрицателен} \] \[ (x - 8)^2 > 0 \] \[ (4 - x)^3 > 0 \]

Знаковое выражение: \((\text{некоторое число}) / (\text{отрицительное})\). Так как знак дроби зависит только от знака числителя (который \(\geq 0\)) и знака знаменателя — отрицательный, то всю дробь отрицательна для \(x<0\) (кроме точек разрыва, где деление на ноль).

На интервале \((-\infty, 0)\) значение отрицательно, не подходит, поскольку мы ищем \(\geq 0\).

Итог: на \((-\infty, 0)\): выражение меньше 0 — не входит в решение.

---

Интервал \((0,3)\):

• \(x > 0\):

\[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) > 0 \Rightarrow (4 - x)^3 > 0 \] \[ (x - 3)^2 \geq 0 \]

Знаменатель: \(>0\), \(\geq 0\) на границах — исключая точки в области определения.

Знак дроби: числитель \(\geq 0\), знаменатель >0, значит дробь \(\geq 0\).

На интервале \((0,3)\), выражение \(\geq 0\), и максимум — когда числитель и знаменатель не равны нулю.

при \(x=0\): знаменатель ноль (точка разрыва).

при \(x=3\): числитель \(\rightarrow 0\).

Значит, включаем в решение, где дробь не отрицательна, а при \(x=3\) равна 0.

Итак, \((0,3)\), включительно с \(x=3\), так как в точке numerator равен нулю и деление на ноль невозможно, исключая точку \(x=3\).

Но, в области определения исключение — точка \(x=0\), где знаменатель равен нулю.

---

Интервал \((3,4)\):

• \(x > 3\):

\[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ (x - 3)^2 \geq 0 \]

Знаменатель: \(\text{отрицательное} \times \text{ограничено}\).

\[ \text{Знак дроби} = \frac{\geq 0}{\text{отрицательное} \times \text{отрицательное} \times \text{отрицательное}}. \]

Всё связывается так, что:

• numerator: \(\geq 0\),
• знаменатель: произведение одного positive и двух negative факторов.

\[ (x - 8)^2 > 0 \] \[ (4 - x)^3 < 0 \]

Он делит все последующие пункты. В знаменателе есть \((4 - x)^3 < 0\), что делает знак всего знаменателя отрицательным. И поскольку numerator \(\geq 0\), дробь получается \(\leq 0\).

Значит, в интервале \((3,4)\), значению \(\leq 0\).

В условии стоит \(\geq 0\), то есть только нули или положительные значения.

Значение равно нулю при \(x=3\), как и ожидается.

---

Интервал \((4,8)\):

• \(x > 4\):

\[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ x - 3 > 0 \] Все факторы: numerator \(\geq 0\), знаменатель: \((x-8)^2 \geq 0\), \((4-x)^3 < 0\).

Значит, дробь \(\leq 0\), в точке \(x=8\) есть ноль в знаменателе — исключаем.

На интервале \((4,8)\), дробь \(\leq 0\).

Для включения в решение: только нулевые точки.

---

Интервал \((8, +\infty)\):

• \(x>8\):

\[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ x - 3 > 0 \]

Все знаки: numerator \(\geq 0\), знаменатель \(\geq 0\) (коэффициенты \((x-8)^2\)), и \((4 - x)^3 < 0\), тогда знаменатель отрицательный. Знак дроби: \(\leq 0\).

---

Итог:

• Неравенство \(\geq 0\) при:

  • \(x=3\) (где