Реши этот пример чТерез метод интервалов

Давайте решим данный неравенство методом интервалов. Вот исходное неравенство: \[ \frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 (x - 8)^2 (4 - x)^3} \geq 0 \] ### Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель Обратим внимание, что числитель — это квадрат бинома: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] Значит, наше неравенство запишется так: \[ \frac{(x - 3)^2}{x^3 (x - 8)^2 (4 - x)^3} \geq 0 \] ### Шаг 2: Обозначим нули на числителе и знаменателе - Нули числителя: \(x = 3\). Так как это квадрат, знак перед ним всегда неотрицателен — он равен нулю при \(x = 3\), и положителен для остальных \(x\). - Нули знаменателя: это точки, где знаменатель равен нулю, а именно: - \(x = 0\), - \(x = 8\), - \(x = 4\). Обратите внимание, что \(4 - x = 0\) при \(x = 4\). Это точка разрыва, и она должна быть исключением из области определения. ### Шаг 3: Запишем знаки каждого множителя - \((x - 3)^2 \geq 0\) всегда, и равен нулю при \(x=3\). - \(x^3\): - \(x > 0\): \(x^3 > 0\), - \(x < 0\): \(x^3 < 0\). - \((x - 8)^2 \geq 0\), и равен нулю при \(x=8\), неотрицателен для всех \(x\). - \((4 - x)^3\): - при \(x < 4\): \(4 - x > 0\), значит \((4 - x)^3 > 0\), - при \(x > 4\): \(4 - x < 0\), значит \((4 - x)^3 < 0\), - при \(x=4\): равно нулю, точка исключения. ### Шаг 4: Построим числовую ось и отметим важные точки Точки: \(-\infty, 0, 3, 4, 8, +\infty\). Рассмотрим знак выражения на каждом интервале: - \((-\infty, 0)\), - \((0, 3)\), - \((3, 4)\), - \((4, 8)\), - \((8, +\infty)\). Учтём нули и знаки. ### Шаг 5: Анализ интервалов **Интервал \((-\infty, 0)\):** - \(x < 0\): \[ x^3 < 0 \Rightarrow \text{отрицателен} \] \[ (4 - x) > 0 \Rightarrow (4 - x)^3 > 0 \] \[ (x - 3)^2 > 0 \] Значит, знаменатель: знак суммы — отрицательный (отрицательный \(\times\) положительный \(\times\) отрицательный): \[ x^3 < 0 \Rightarrow \text{отрицателен} \] \[ (x - 8)^2 > 0 \] \[ (4 - x)^3 > 0 \] Знаковое выражение: \((\text{некоторое число}) / (\text{отрицительное})\). Так как знак дроби зависит только от знака числителя (который \(\geq 0\)) и знака знаменателя — отрицательный, то всю дробь **отрицательна** для \(x<0\) (кроме точек разрыва, где деление на ноль). На интервале \((-\infty, 0)\) значение **отрицательно**, не подходит, поскольку мы ищем \(\geq 0\). **Итог: на \((-\infty, 0)\):** выражение **меньше 0** — не входит в решение. --- **Интервал \((0,3)\):** - \(x > 0\): \[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) > 0 \Rightarrow (4 - x)^3 > 0 \] \[ (x - 3)^2 \geq 0 \] Знаменатель: \(>0\), \(\geq 0\) на границах — исключая точки в области определения. Знак дроби: числитель \(\geq 0\), знаменатель >0, значит дробь \(\geq 0\). На интервале \((0,3)\), выражение \(\geq 0\), и максимум — когда числитель и знаменатель не равны нулю. при \(x=0\): знаменатель ноль (точка разрыва). при \(x=3\): числитель \(\rightarrow 0\). Значит, включаем в решение, где дробь не отрицательна, а при \(x=3\) равна 0. **Итак, \((0,3)\), включительно с \(x=3\), так как в точке numerator равен нулю и деление на ноль невозможно, исключая точку \(x=3\).** **Но**, в области определения исключение — точка \(x=0\), где знаменатель равен нулю. --- **Интервал \((3,4)\):** - \(x > 3\): \[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ (x - 3)^2 \geq 0 \] Знаменатель: \(\text{отрицательное} \times \text{ограничено}\). \[ \text{Знак дроби} = \frac{\geq 0}{\text{отрицательное} \times \text{отрицательное} \times \text{отрицательное}}. \] Всё связывается так, что: - numerator: \(\geq 0\), - знаменатель: произведение одного positive и двух negative факторов. \[ (x - 8)^2 > 0 \] \[ (4 - x)^3 < 0 \] Он делит все последующие пункты. В знаменателе есть \((4 - x)^3 < 0\), что делает знак всего знаменателя отрицательным. И поскольку numerator \(\geq 0\), дробь получается \(\leq 0\). Значит, в интервале \((3,4)\), значению \(\leq 0\). В условии стоит \(\geq 0\), то есть только нули или положительные значения. Значение равно нулю при \(x=3\), как и ожидается. --- **Интервал \((4,8)\):** - \(x > 4\): \[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ x - 3 > 0 \] Все факторы: numerator \(\geq 0\), знаменатель: \((x-8)^2 \geq 0\), \((4-x)^3 < 0\). Значит, дробь \(\leq 0\), в точке \(x=8\) есть ноль в знаменателе — исключаем. На интервале \((4,8)\), дробь \(\leq 0\). **Для включения в решение: только нулевые точки.** --- **Интервал \((8, +\infty)\):** - \(x>8\): \[ x^3 > 0 \] \[ (4 - x) < 0 \Rightarrow (4 - x)^3 < 0 \] \[ x - 3 > 0 \] Все знаки: numerator \(\geq 0\), знаменатель \(\geq 0\) (коэффициенты \((x-8)^2\)), и \((4 - x)^3 < 0\), тогда знаменатель отрицательный. Знак дроби: \(\leq 0\). --- ### Итог: - Неравенство \(\geq 0\) при: - \(x=3\) (где