Задумали трехзначное число которое делится на 45 затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного получили число 72 какое число было задумано

Давайте подробно решим задачу. **Задача:** Задумали трехзначное число, которое делится на 45. Потом поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц. Полученное число вычли из первоначального и получили 72. Нужно найти исходное число. --- ### Шаг 1: Обозначение переменных Обозначим число как: \[ \text{ABC} \] где: - \( A \) — цифра в разряде сотен, - \( B \) — цифра в разряде десятков, - \( C \) — цифра в разряде единиц. Тогда само число: \[ N = 100A + 10B + C \] --- ### Шаг 2: Условие делимости на 45 Число делится на 45, если оно делится и на 9, и на 5: - **Делимость на 5:** число должно заканчиваться на 0 или 5, значит: \[ C = 0 \quad \text{или} \quad C = 5 \] - **Делимость на 9:** сумма цифр должна делиться на 9: \[ A + B + C \equiv 0 \ (\bmod\ 9) \] --- ### Шаг 3: Модифицированное число После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц, получим число: \[ N' = 100A + 10C + B \] --- ### Шаг 4: Условие о разности Получили, что: \[ N - N' = 72 \] Подставим выражения: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 72 \] Раскроем скобки и приведём подобные: \[ 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 72 \] \[ (10B - B) + (C - 10C) = 72 \] \[ 9B - 9C = 72 \] Вынесем общий множитель: \[ 9(B - C) = 72 \] \[ B - C = \frac{72}{9} = 8 \] --- ### Шаг 5: Анализ условий Теперь есть два важных уяснения: 1. \( C = 0 \quad \text{или} \quad C = 5 \) 2. \( B - C = 8 \) Рассмотрим оба варианта: --- ### Вариант 1: \( C = 0 \) Тогда: \[ B - 0 = 8 \quad \Rightarrow \quad B = 8 \] Обозначения: - \( C = 0 \) - \( B = 8 \) Проверка делимости на 9: \[ A + B + C = A + 8 + 0 = A + 8 \] Должно делиться на 9, то есть: \[ A + 8 \equiv 0 \ (\bmod\ 9) \] Поскольку \( A \) — цифра, от 1 до 9 (число трехзначное, начиная с 1): - Пусть \( A = 1 \), тогда сумма: \[ 1 + 8 = 9 \] — делится на 9. - \( A = 2 \), тогда сумма: \( 2 + 8 = 10 \) — не делится на 9. - \( A = 9 \), тогда сумма: \( 9 + 8 = 17 \) — не делится на 9. Только \( A = 1 \) подходит, поскольку сумма равна 9. Проверяем исходное число: \[ N = 100A + 10B + C = 100 \times 1 + 10 \times 8 + 0 = 100 + 80 + 0 = 180 \] Проверим делимость на 45: - 45 делится на 9, так как сумма цифр 1 + 8 + 0 = 9. - 45 делится на 5, так как число заканчивается на 0. Условие выполнено. Проверим разность: \[ N' = 100A + 10C + B = 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 100 + 0 + 8 = 108 \] \[ N - N' = 180 - 108 = 72 \] Все верно. --- ### Вариант 2: \( C = 5 \) Тогда: \[ B - 5 = 8 \quad \Rightarrow \quad B = 13 \] Но цифра \( B \) — это цифра разряда десятков, не может быть больше 9, поэтому варианта, где \( C=5 \), нет. --- ### Итог: **Задуманное число: \(\boxed{180}\)** --- ### Ответ: **Задуманное число — 180.**