40.4 решить все примеры

Давайте решим все примеры из задания 40.4 и 40.5 по порядку с подробными объяснениями. --- ## Задача 40.4 ### 1) \(\frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}\) **Шаг 1:** Запишем все множители. \[ \frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} \times \frac{6ax}{15b^2} \] **Шаг 2:** Перепишем, упростим по частям. *Для первого и второго:* \[ \frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} \] Ускорим процесс, сократив напрямую: - \(a^2\) сокращается. - \(b\) в первом дробе и \(b^2\) во втором частично сократятся, остается \(b\) в знаменателе. - \(x\) в числителе есть во втором дробе, и \(xy\) в первом в знаменателе. Поэтому: \[ = \frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} = \frac{2b}{3x} \times \frac{3x^2 y}{4b^2} \] Здесь \(a^2\) и \(a^2\) сократились. Осталось: \[ = \frac{2b \times 3x^2 y}{3x \times 4b^2} \] Сократим: - \(3\) в числителе и знаменателе, сократятся. - \(b\) и \(b^2\): \(b / b^2 = 1/ b\). И остается: \[ \frac{2 x^2 y}{4b} \] Далее умножаем на третий множитель: \[ \frac{6ax}{15b^2} \] Сократим: - \(6/15 = 2/5\). Итак: \[ \frac{2 x^2 y}{4b} \times \frac{2 a x}{5b^2} \] Объединим: \[ = \frac{2 x^2 y \times 2 a x}{4b \times 5b^2} \] Немного упростим: \[ = \frac{4 a x^3 y}{20 b^3} \] и сократим на 4: \[ = \frac{a x^3 y}{5 b^3} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{a x^3 y}{5 b^3}}\) --- ## 2) \(\frac{x^2 - xy y^2}{4y} \div \frac{2x^3}{x - y}\) **Шаг 1:** Деление — это умножение на обратную дробь: \[ \frac{x^2 - xy y^2}{4y} \times \frac{x - y}{2x^3} \] **Шаг 2:** Упростим числитель первой дроби: Обратите внимание, что в выражении \(x^2 - xy y^2\): - Возможно, это ошибка из-за опечатки. Предположим, что имелось в виду \(x^2 - xy\) или что \(xy y^2\) — это перезаписанное \(x y^3\)? Наиболее логичный вариант — \(x^2 - xy^2\), что можно вынести как: \[ x (x - y^2) \] Если так, то: \[ \frac{x (x - y^2)}{4 y} \times \frac{x - y}{2 x^3} \] **Шаг 3:** Перемножим: \[ \frac{x (x - y^2)}{4 y} \times \frac{x - y}{2 x^3} \] Обеспечим сокращение: - В числителе произведения: \(x (x - y^2)(x - y)\) - В знаменателе: \(8 y x^3\) Общая дробь получится: \[ \frac{x (x - y^2)(x - y)}{8 y x^3} \] **Шаг 4:** Сократим: - \(x\) с \(x^3\): \(x / x^3 = 1 / x^2\) Итак: \[ \frac{(x - y^2)(x - y)}{8 y x^2} \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{(x - y^2)(x - y)}{8 y x^2}} \] --- ## 3) \(\frac{6m^3 n^2}{35 p^3} \div \frac{49 n^4}{5 m^3 p^3}\) **Шаг 1:** Деление — умножение на обратную дробь: \[ \frac{6m^3 n^2}{35 p^3} \times \frac{5 m^3 p^3}{49 n^4} \] **Шаг 2:** Перемножим числитель и знаменатель: \[ = \frac{6 m^3 n^2 \times 5 m^3 p^3}{35 p^3 \times 49 n^4} \] Объединим: \[ = \frac{30 m^{6} n^{2} p^{3}}{1715 p^{3} n^{4}} \] Сократим: - \(p^{3}\) в numerator и denominator — сократились. - \(n^{2}\) и \(n^{4}\): \(n^{2}/ n^{4} = 1/ n^{2}\). Остается: \[ \frac{30 m^{6}}{1715 n^{2}} \] Далее сократим 30 и 1715 на 5: - \(30 / 5 = 6\) - \(1715 / 5 = 343\) И получаем окончательный ответ: \[ \boxed{\frac{6 m^{6}}{343 n^{2}}} \] --- ## 4) \(\frac{m - n}{mn} \div \frac{2 m}{mn - m^2}\) **Шаг 1:** Перепишем деление как умножение: \[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{mn - m^2}{2 m} \] Обратим внимание на \(mn - m^2\): \[ mn - m^2 = m(n - m) \] **Шаг 2:** Теперь произведение: \[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{m(n - m)}{2 m} \] Обратим внимание, что \(m(n - m) = -m (m - n)\). Тогда: \[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{-m (m - n)}{2 m} \] Множим: \[ \frac{(m - n) \times - m (m - n)}{mn \times 2 m} \] или: \[ \frac{- m (m - n)^2}{2 m \times m n} \] Тут \(m\) в числителе и знаменателе сократится на \(m\): \[ = \frac{- (m - n)^2}{2 n m} \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{- (m - n)^2}{2 n m}} \] --- ## 5) \(\frac{a m - m b}{3 n^2} \div \frac{n b - n a}{a^2 - 25}\) Обратим: \[ \frac{a m - m b}{3 n^2} \times \frac{a^2 - 25}{n b - n a} \] Анализируем: - \(a m - m b = m (a - b)\) - \(n b - n a = n (b - a) = -n (a - b)\) - \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\) Тогда: \[ \frac{m (a - b)}{3 n^2} \times \frac{(a - 5)(a + 5)}{- n (a - b)} \] Теперь — сократим \(a - b\): \[ = \frac{m}{3 n^2} \times \frac{(a - 5)(a + 5)}{- n} \]