40.4 решить все примеры
Давайте решим все примеры из задания 40.4 и 40.5 по порядку с подробными объяснениями.
Задача 40.4
1) \(\frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}\)
Шаг 1: Запишем все множители.
\[ \frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} \times \frac{6ax}{15b^2} \]
Шаг 2: Перепишем, упростим по частям.
Для первого и второго:
\[
\frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2}
\]
Ускорим процесс, сократив напрямую:
- \(a^2\) сокращается.
- \(b\) в первом дробе и \(b^2\) во втором частично сократятся, остается \(b\) в знаменателе.
- \(x\) в числителе есть во втором дробе, и \(xy\) в первом в знаменателе.
Поэтому:
\[ = \frac{2a^2b}{3xy} \times \frac{3x^2 y}{4a^2 b^2} = \frac{2b}{3x} \times \frac{3x^2 y}{4b^2} \]
Здесь \(a^2\) и \(a^2\) сократились. Осталось:
\[ = \frac{2b \times 3x^2 y}{3x \times 4b^2} \]
Сократим:
- \(3\) в числителе и знаменателе, сократятся.
- \(b\) и \(b^2\): \(b / b^2 = 1/ b\).
И остается:
\[ \frac{2 x^2 y}{4b} \]
Далее умножаем на третий множитель:
\[ \frac{6ax}{15b^2} \]
Сократим:
- \(6/15 = 2/5\).
Итак:
\[ \frac{2 x^2 y}{4b} \times \frac{2 a x}{5b^2} \]
Объединим:
\[ = \frac{2 x^2 y \times 2 a x}{4b \times 5b^2} \]
Немного упростим:
\[ = \frac{4 a x^3 y}{20 b^3} \]
и сократим на 4:
\[ = \frac{a x^3 y}{5 b^3} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{a x^3 y}{5 b^3}}\)
2) \(\frac{x^2 - xy y^2}{4y} \div \frac{2x^3}{x - y}\)
Шаг 1: Деление — это умножение на обратную дробь:
\[ \frac{x^2 - xy y^2}{4y} \times \frac{x - y}{2x^3} \]
Шаг 2: Упростим числитель первой дроби:
Обратите внимание, что в выражении \(x^2 - xy y^2\):
- Возможно, это ошибка из-за опечатки. Предположим, что имелось в виду \(x^2 - xy\) или что \(xy y^2\) — это перезаписанное \(x y^3\)?
Наиболее логичный вариант — \(x^2 - xy^2\), что можно вынести как:
\[ x (x - y^2) \]
Если так, то:
\[ \frac{x (x - y^2)}{4 y} \times \frac{x - y}{2 x^3} \]
Шаг 3: Перемножим:
\[ \frac{x (x - y^2)}{4 y} \times \frac{x - y}{2 x^3} \]
Обеспечим сокращение:
- В числителе произведения: \(x (x - y^2)(x - y)\)
- В знаменателе: \(8 y x^3\)
Общая дробь получится:
\[ \frac{x (x - y^2)(x - y)}{8 y x^3} \]
Шаг 4: Сократим:
- \(x\) с \(x^3\): \(x / x^3 = 1 / x^2\)
Итак:
\[ \frac{(x - y^2)(x - y)}{8 y x^2} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{(x - y^2)(x - y)}{8 y x^2}} \]
3) \(\frac{6m^3 n^2}{35 p^3} \div \frac{49 n^4}{5 m^3 p^3}\)
Шаг 1: Деление — умножение на обратную дробь:
\[ \frac{6m^3 n^2}{35 p^3} \times \frac{5 m^3 p^3}{49 n^4} \]
Шаг 2: Перемножим числитель и знаменатель:
\[ = \frac{6 m^3 n^2 \times 5 m^3 p^3}{35 p^3 \times 49 n^4} \]
Объединим:
\[ = \frac{30 m^{6} n^{2} p^{3}}{1715 p^{3} n^{4}} \]
Сократим:
- \(p^{3}\) в numerator и denominator — сократились.
- \(n^{2}\) и \(n^{4}\): \(n^{2}/ n^{4} = 1/ n^{2}\).
Остается:
\[ \frac{30 m^{6}}{1715 n^{2}} \]
Далее сократим 30 и 1715 на 5:
- \(30 / 5 = 6\)
- \(1715 / 5 = 343\)
И получаем окончательный ответ:
\[ \boxed{\frac{6 m^{6}}{343 n^{2}}} \]
4) \(\frac{m - n}{mn} \div \frac{2 m}{mn - m^2}\)
Шаг 1: Перепишем деление как умножение:
\[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{mn - m^2}{2 m} \]
Обратим внимание на \(mn - m^2\):
\[ mn - m^2 = m(n - m) \]
Шаг 2: Теперь произведение:
\[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{m(n - m)}{2 m} \]
Обратим внимание, что \(m(n - m) = -m (m - n)\). Тогда:
\[ \frac{m - n}{mn} \times \frac{-m (m - n)}{2 m} \]
Множим:
\[ \frac{(m - n) \times - m (m - n)}{mn \times 2 m} \]
или:
\[ \frac{- m (m - n)^2}{2 m \times m n} \]
Тут \(m\) в числителе и знаменателе сократится на \(m\):
\[ = \frac{- (m - n)^2}{2 n m} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{- (m - n)^2}{2 n m}} \]
5) \(\frac{a m - m b}{3 n^2} \div \frac{n b - n a}{a^2 - 25}\)
Обратим:
\[ \frac{a m - m b}{3 n^2} \times \frac{a^2 - 25}{n b - n a} \]
Анализируем:
- \(a m - m b = m (a - b)\)
- \(n b - n a = n (b - a) = -n (a - b)\)
- \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\)
Тогда:
\[ \frac{m (a - b)}{3 n^2} \times \frac{(a - 5)(a + 5)}{- n (a - b)} \]
Теперь — сократим \(a - b\):
\[ = \frac{m}{3 n^2} \times \frac{(a - 5)(a + 5)}{- n} \]
