Упражнение 4 На рисунке изображён прямоугольник ABCD. Точки K, L, M, № середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN.

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD попадёт в треугольник LMN, образованный точками середины сторон. ### Шаг 1. Анализ условия задачи - В прямоугольнике ABCD изображены точки K, L, M, N, которые являются серединами сторон. - Обычно в такой задаче точки обозначают так: - K — середина стороны AB - L — середина стороны BC - M — середина стороны CD - N — середина стороны DA - Нам нужно найти вероятность того, что случайная точка внутри ABCD попадает в треугольник LMN. ### Шаг 2. Построение и обозначения Обозначим координаты прямоугольника ABCD для удобства: - Пусть ABCD — прямоугольник со сторонами вдоль координатных осей. - Пусть: - A(0,0) - B(a,0) - C(a,b) - D(0,b) Точки середины: - K — середина AB: \( K\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \) - L — середина BC: \( L\left(a, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(a, \frac{b}{2}\right) \) - M — середина CD: \( M\left(\frac{a + 0}{2}, b\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \) - N — середина DA: \( N(0, \frac{0 + b}{2}) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \) ### Шаг 3. Определение треугольника LMN - Вершины треугольника: - L \(\left(a, \frac{b}{2}\right)\), - M \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\), - N \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\). ### Шаг 4. Вычисление площади треугольника LMN Формула площади через координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты: - \( (x_1, y_1) = \left(a, \frac{b}{2}\right) \) - \( (x_2, y_2) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \) - \( (x_3, y_3) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \) Площадь: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} | a(b/2 - b/2) + (a/2)(b/2 - b/2) + 0(\frac{b}{2} - b) | = \frac{1}{2} | 0 + 0 + 0 | = 0 \] Но появляется нулевая площадь. Это означает, что точки L, M, N лежат на одной линии (и треугольник не существует или он вырожден). Проверим, действительно ли они коллинеарны. ### Шаг 5. Проверка коллинеарности Проверим, лежат ли точки на одной линии. Для этого возьмем две точки и проверим, входит ли третья. - Вектор \(\overrightarrow{LN}\): \[ N - L = (0 - a, \frac{b}{2} - \frac{b}{2}) = (-a, 0) \] - Вектор \(\overrightarrow{LM}\): \[ M - L = \left(\frac{a}{2} - a, b - \frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \] Проверим, пропорциональны ли эти векторы: \[ \text{Решение: } \frac{-a}{-\frac{a}{2}} = 2, \quad \frac{0}{\frac{b}{2}} = 0 \] Они не совпадают. Значит, точки **не коллинеарны**, и треугольник существует. Вероятно, ошибка в вычислении площади. Вернемся к формуле. ### Шаг 6. Пересчёт площади Проверка формулы: \[ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \] Подставим ещё раз: \[ x_1 = a, \quad y_1 = \frac{b}{2} \] \[ x_2 = \frac{a}{2}, \quad y_2 = b \] \[ x_3 = 0, \quad y_3 = \frac{b}{2} \] Общий расчет: \[ S = \frac{1}{2} | a (b - \frac{b}{2}) + \frac{a}{2}(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}) + 0 (\frac{b}{2} - b) | \] \[ = \frac{1}{2} | a \left(\frac{b}{2}\right) + 0 + 0 | = \frac{1}{2} \left( a \frac{b}{2} \right ) = \frac{a b}{4} \] Теперь понятно — площадь треугольника LMN равна \( \frac{a b}{4} \). ### Шаг 7. Общая площадь квадрата Площадь всего прямоугольника ABCD: \[ S_{ABCD} = a \times b \] ### Шаг 8. Вывод вероятности Вероятность того, что случайная точка внутри прямоугольника попадет в треугольник LMN: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a b}{4}}{a b} = \frac{1}{4} \] ### Итог: **Ответ:** вероятность равна \(\boxed{\frac{1}{4}}\). --- Если нужно, я могу помочь дополнительно с более подробными схемами или объяснениями!