Задумали трехзначное число которое делится на 18 и последняя цифра котрго не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получилии…
Задумали трехзначное число которое делится на 18 и последняя цифра котрго не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получилии число 594. Какое число было задумано?
Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом. Мы ищем трехзначное число, которое:
- делится на 18;
- его последняя цифра не равна нулю;
- при вычитании числа с обратным порядком цифр получается число 594.
Обозначим исходное число через ABC, где:
- A — первая цифра (сотни),
- B — вторая цифра (десятки),
- C — третья цифра (единицы).
Тогда само число:
\[ N = 100A + 10B + C \]
Обратное число:
\[ N_{rev} = 100C + 10B + A \]
По условию, при вычитании они дают 594:
\[ N - N_{rev} = 594 \]
Подставим выражения:
\[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 594 \]
Раскроем скобки:
\[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 594 \]
Обратите внимание, что \(10B - 10B = 0\), они сокращаются:
\[ 100A - A + C - 100C = 594 \]
Упростим:
\[ 99A - 99C = 594 \]
Вынесем за скобки 99:
\[ 99(A - C) = 594 \]
Разделим обе части на 99:
\[ A - C = \frac{594}{99} = 6 \]
Значит:
\[ A - C = 6 \]
Также, так как число делится на 18, оно должно делиться и на 9, и на 2.
- Делимость на 2: последнее число C — должна быть четной. Но из условия, что последняя цифра не равна нулю, C — четное число и не равно нулю.
Итак, C — одно из: 2, 4, 6, 8.
Шаг 1: Определим возможные значения для A и C
Из выше:
\[ A - C = 6 \]
Так как A и C — цифры, причём A — первая цифра (от 1 до 9), а C — (2, 4, 6, 8):
Рассмотрим возможные сценарии:
\( C = 2 \)
Тогда \( A = C + 6 = 8 \) (так как \(A \leq 9\)) — подходит.\( C = 4 \)
Тогда \( A = 4 + 6 = 10 \) — не подходит (A — однозначная цифра).\( C = 6 \)
Тогда \( A = 6 + 6 = 12 \) — не подходит.\( C = 8 \)
Тогда \( A = 8 + 6 = 14 \) — не подходит.
Итак, единственный вариант — C=2, A=8.
Шаг 2: Проверяем делимость на 18
Требуется, чтобы число делилось на 18:
- делится на 9 → сумма цифр делится на 9 или нет?
- делится на 2 → C — четная, это удовлетворяет.
Сумма цифр: \(A + B + C = 8 + B + 2 = 10 + B \)
Для делимости на 9:
\[ 10 + B \equiv 0 \pmod{9} \]
Рассмотрим возможные значения B (0 … 9):
\(B=8\), тогда \(10+8=18\), делится на 9, отлично.
Любое другое значение B, при котором \(10+B\) делится на 9:
\(10+B \equiv 0 \pmod{9}\)
\(\implies 10+B \equiv 0 \pmod{9}\)
Поскольку 10 ≡ 1 (mod 9), значит:
\[1 + B \equiv 0 \pmod{9}\]
\[ B \equiv -1 \equiv 8 \pmod{9} \]
Это значит, что B = 8 или B=8 + 9 = 17 (но цифра не более 9), поэтому B=8.
Итак, B=8.
Значит, исходное число \(N = 100 \times 8 + 10 \times 8 + 2 = 800 + 80 + 2 = 882.\)
Проверка:
- делится ли 882 на 18?
882 / 18 = 49 (точно), значит делится.
Шаг 3: Проверяем условие:
Посчитаем обратное число:
\[ N_{rev} = 100 \times C + 10 \times B + A = 100 \times 2 + 10 \times 8 + 8 = 200 + 80 + 8 = 288 \]
Проверка:
\[ N - N_{rev} = 882 - 288 = 594 \]
Совпадает с условиями!
Итог:
Задуманное число — 882.
Ответ:
Задуманное число — 882.
Если нужны дополнительные объяснения или есть другие вопросы — скажите!
