Реши
Конечно! Давайте подробно разберем каждую задачу.
1. Решите систему неравенств:
\[ \begin{cases} 5(2x -1) - 3(3x +6) < 2, \\ 2x -17 > 0. \end{cases} \]
Решение:
Первое неравенство:
Раскроем скобки: \[ 5(2x - 1) = 10x - 5, \] \[ 3(3x + 6) = 9x + 18. \] Запишем неравенство: \[ (10x - 5) - (9x + 18) < 2. \]
Упростим: \[ 10x - 5 - 9x - 18 < 2, \] \[ (10x - 9x) + (-5 - 18) < 2, \] \[ x - 23 < 2. \]
Решим полученное неравенство: \[ x < 2 + 23, \] \[ x < 25. \]
Второе неравенство:
\[ 2x - 17 > 0, \] \[ 2x > 17, \] \[ x > \frac{17}{2} = 8.5. \]
Объединение решений:
- Из первого неравенства: \( x < 25 \).
- Из второго: \( x > 8.5 \).
Ответ: \[ \boxed{ 8.5 < x < 25. } \]
2. Упростите выражение:
\[ (\sqrt{10 + \sqrt{5}}) \sqrt{20 - 5\sqrt{8}}. \]
Решение:
- Обозначим:
\[ A = \sqrt{10 + \sqrt{5}}, \] \[ B = \sqrt{20 - 5\sqrt{8}}. \]
- Упростим \( B \):
Заметим, что \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), тогда:
\[ 20 - 5 \times 2 \sqrt{2} = 20 - 10 \sqrt{2}. \]
Попробуем представить \( 20 - 10 \sqrt{2} \) как квадрат бинома.
Обозначим:
\[ (a + b \sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab \sqrt{2}. \]
Нам нужно равенство:
\[ a^2 + 2b^2 + 2ab \sqrt{2} = 20 - 10 \sqrt{2}. \]
Приравниваем части без корня и под корнем:
- Без корня: \( a^2 + 2b^2 = 20 \),
- Под корнем: \( 2ab = -10 \Rightarrow ab = -5 \).
Попробуем подобрать числа \( a \) и \( b \):
- Из второго уравнения: \( ab = -5 \), значит, \( a = -\frac{5}{b} \).
Вставим в первое уравнение:
\[ a^2 + 2b^2 = 20, \] \[ \left(-\frac{5}{b}\right)^2 + 2b^2 = 20, \] \[ \frac{25}{b^2} + 2b^2 = 20. \]
Обозначим \( t = b^2 \):
\[ \frac{25}{t} + 2t = 20, \] \[ \frac{25 + 2t^2}{t} = 20, \] \[ 25 + 2t^2 = 20t, \] \[ 2t^2 - 20t + 25 = 0. \]
Решим квадратное уравнение:
\[ 2t^2 - 20t + 25 = 0, \] \[ t^2 - 10 t + 12.5 = 0. \]
Дискриминант:
\[ D = 100 - 4 \times 1 \times 12.5 = 100 - 50 = 50. \]
Тогда:
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{50}}{2} = \frac{10 \pm 5 \sqrt{2}}{2} = 5 \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}. \]
Но это усложняет дело. Вместо этого можно заметить, что:
\[ 20 - 10 \sqrt{2} = (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2, \]
потому что:
\[ (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 10 + 2 - 2 \sqrt{20} = 12 - 2 \sqrt{20}. \] Но \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \); тогда:
\[ (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 12 - 2 \times 2 \sqrt{5} = 12 - 4 \sqrt{5}. \]
Это не подходит, так что можно проверить другой вариант.
Но изначально проще сделать так:
Обозначим \( t = \sqrt{10 + \sqrt{5}} \). Тогда:
\[ \text{Ответ:} \quad t \times \sqrt{20 - 5 \sqrt{8}}. \]
Но упростить полностью и точно — сложно. Пожалуйста, уточните, если нужно!
3. Упростите выражение:
\[ \left(\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} \right) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}. \]
Решение:
- Запишем более удобно:
\[ \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}. \]
- Упростим знаменатели:
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), \] \[ 2x - x^2 = - (x^2 - 2x) = - x(x - 2), \] \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. \]
- Перепишем:
\[ \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{- x (x - 2)}, \] деление на дробь слева – умножение на обратный:
\[ \left(\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x (x - 2)} \right) \times (x + 2)^2. \]
- Объединим левую часть в скобках:
Общий знаменатель: \( x (x - 2)(x + 2) \).
Переведем дроби:
\[ \frac{2x}{x (x - 2)(x + 2)} - \frac{(x + 2)}{x (x - 2)}. \]
Вторую дробь домножим на \(\frac{x + 2}{x + 2}\):
\[ \frac{2x}{x (x - 2)(x + 2)} - \frac{(x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \]
Объединим:
\[ \frac{2x - (x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \]
Раскроем квадрат:
\[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4, \] в numerator:
\[ 2x - (x^2 + 4x + 4) = 2x - x^2 - 4x - 4 = -x^2 - 2x - 4. \]
Итог:
\[ \frac{- x^2 - 2x - 4}{x (x - 2)(x + 2)}. \]
- Умножение на \((x + 2)^2\):
\[ \frac{- x^2 - 2x - 4}{x (x - 2)(x + 2)} \times (x + 2)^2, \]
можно упростить:
\[ = \frac{(- x^2 - 2x - 4) (x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \]
Знаменатель сокращается на \((x + 2)\):
[ = \frac{(-
