Реши

Конечно! Давайте подробно разберем каждую задачу. --- ### 1. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} 5(2x -1) - 3(3x +6) < 2, \\ 2x -17 > 0. \end{cases} \] **Решение:** **Первое неравенство:** 1. Раскроем скобки: \[ 5(2x - 1) = 10x - 5, \] \[ 3(3x + 6) = 9x + 18. \] Запишем неравенство: \[ (10x - 5) - (9x + 18) < 2. \] 2. Упростим: \[ 10x - 5 - 9x - 18 < 2, \] \[ (10x - 9x) + (-5 - 18) < 2, \] \[ x - 23 < 2. \] 3. Решим полученное неравенство: \[ x < 2 + 23, \] \[ x < 25. \] --- **Второе неравенство:** \[ 2x - 17 > 0, \] \[ 2x > 17, \] \[ x > \frac{17}{2} = 8.5. \] --- **Объединение решений:** - Из первого неравенства: \( x < 25 \). - Из второго: \( x > 8.5 \). **Ответ:** \[ \boxed{ 8.5 < x < 25. } \] --- ### 2. Упростите выражение: \[ (\sqrt{10 + \sqrt{5}}) \sqrt{20 - 5\sqrt{8}}. \] **Решение:** 1. Обозначим: \[ A = \sqrt{10 + \sqrt{5}}, \] \[ B = \sqrt{20 - 5\sqrt{8}}. \] 2. Упростим \( B \): Заметим, что \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), тогда: \[ 20 - 5 \times 2 \sqrt{2} = 20 - 10 \sqrt{2}. \] Попробуем представить \( 20 - 10 \sqrt{2} \) как квадрат бинома. Обозначим: \[ (a + b \sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab \sqrt{2}. \] Нам нужно равенство: \[ a^2 + 2b^2 + 2ab \sqrt{2} = 20 - 10 \sqrt{2}. \] Приравниваем части без корня и под корнем: - Без корня: \( a^2 + 2b^2 = 20 \), - Под корнем: \( 2ab = -10 \Rightarrow ab = -5 \). Попробуем подобрать числа \( a \) и \( b \): - Из второго уравнения: \( ab = -5 \), значит, \( a = -\frac{5}{b} \). Вставим в первое уравнение: \[ a^2 + 2b^2 = 20, \] \[ \left(-\frac{5}{b}\right)^2 + 2b^2 = 20, \] \[ \frac{25}{b^2} + 2b^2 = 20. \] Обозначим \( t = b^2 \): \[ \frac{25}{t} + 2t = 20, \] \[ \frac{25 + 2t^2}{t} = 20, \] \[ 25 + 2t^2 = 20t, \] \[ 2t^2 - 20t + 25 = 0. \] Решим квадратное уравнение: \[ 2t^2 - 20t + 25 = 0, \] \[ t^2 - 10 t + 12.5 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 100 - 4 \times 1 \times 12.5 = 100 - 50 = 50. \] Тогда: \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{50}}{2} = \frac{10 \pm 5 \sqrt{2}}{2} = 5 \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}. \] Но это усложняет дело. Вместо этого можно заметить, что: \[ 20 - 10 \sqrt{2} = (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2, \] потому что: \[ (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 10 + 2 - 2 \sqrt{20} = 12 - 2 \sqrt{20}. \] Но \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \); тогда: \[ (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 12 - 2 \times 2 \sqrt{5} = 12 - 4 \sqrt{5}. \] Это не подходит, так что можно проверить другой вариант. --- Но изначально проще сделать так: Обозначим \( t = \sqrt{10 + \sqrt{5}} \). Тогда: \[ \text{Ответ:} \quad t \times \sqrt{20 - 5 \sqrt{8}}. \] **Но упростить полностью и точно — сложно. Пожалуйста, уточните, если нужно!** --- ### 3. Упростите выражение: \[ \left(\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} \right) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}. \] **Решение:** 1. Запишем более удобно: \[ \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}. \] 2. Упростим знаменатели: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), \] \[ 2x - x^2 = - (x^2 - 2x) = - x(x - 2), \] \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. \] 3. Перепишем: \[ \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{- x (x - 2)}, \] деление на дробь слева – умножение на обратный: \[ \left(\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x (x - 2)} \right) \times (x + 2)^2. \] 4. Объединим левую часть в скобках: Общий знаменатель: \( x (x - 2)(x + 2) \). Переведем дроби: \[ \frac{2x}{x (x - 2)(x + 2)} - \frac{(x + 2)}{x (x - 2)}. \] Вторую дробь домножим на \(\frac{x + 2}{x + 2}\): \[ \frac{2x}{x (x - 2)(x + 2)} - \frac{(x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \] Объединим: \[ \frac{2x - (x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \] Раскроем квадрат: \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4, \] в numerator: \[ 2x - (x^2 + 4x + 4) = 2x - x^2 - 4x - 4 = -x^2 - 2x - 4. \] Итог: \[ \frac{- x^2 - 2x - 4}{x (x - 2)(x + 2)}. \] 5. Умножение на \((x + 2)^2\): \[ \frac{- x^2 - 2x - 4}{x (x - 2)(x + 2)} \times (x + 2)^2, \] можно упростить: \[ = \frac{(- x^2 - 2x - 4) (x + 2)^2}{x (x - 2)(x + 2)}. \] Знаменатель сокращается на \((x + 2)\): \[ = \frac{(-