Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие A A : «при первом броске выпадет 2 2 очка» и событие B B : «при…

Давайте разберем задачу пошагово.

Что такое независимые события?
Два события считаются независимыми, если выполнение одного события не влияет на вероятность возникновения другого. В контексте броска игральной кости это означает, что результат первого броска не влияет на результат второго.

---

Общие принципы для решения задачи:

• При броске честной шестигранной кости все исходы равновероятны.
• Вероятность конкретного исхода равна \(\frac{1}{6}\).
• Для проверки независимости нужно понять, влияет ли результат первого броска на вероятность второго.

---

Рассмотрим каждую пару событий:

---

1. События:

• A: «при первом броске выпадет 2 очка»
• B: «при втором броске выпадет больше 2 очков»

Анализ:
Вероятность события A: \(P(A) = \frac{1}{6}\) (так как 1 исход — выпадение 2).
Вероятность события B — «на втором броске выпало больше 2»: исходы 3, 4, 5, 6 — итого 4 исхода, \(P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Совместное событие \(A \cap B\):
Чтобы оба события случились, впервые — выпала 2, а на втором — больше 2.
Вероятность этого:
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\]

Поскольку броски независимы,
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
и это равно \(1/9\), что совпадает с их произведением.

Вывод: события A и B независимы.

---

2. События:

• A: «при первом броске выпадет больше 2 очков»
• B: «сумма выпавших очков равна 6»

Анализ:
Вероятность A: исходы 3, 4, 5, 6 — итого 4, \(P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Вероятность B: сумма равна 6 — возможные пары: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1).
Всего исходов: 36 (6×6).
Пары дающие сумму 6: 5 — ровно 5 исходов.
Вероятность B: \(P(B) = \frac{5}{36}\).

Совместное событие \(A \cap B\):
Это — ситуация, когда при первом броске больше 2, а сумма равна 6.

• Если первый бросок — 3, то второй — 3 (точно): такая пара — (3,3).
• Если первый — 4, то второй — 2 (4,2).
• Если первый — 5, второй — 1 (5,1).
• Если первый — 6, то второй — 0? — Нет, так как минимум 1 очко; максимум 6. Но так как → сумма должна быть 6, и первый бросок >2, то второй — \(6 -\) первый бросок, если он между 3 и 5, то такой исход:
  • (3,3), (4,2), (5,1)
    — итого 3 исхода.

Вероятность \(P(A \cap B)\):
Всего исходов — 36,
число — 3, для которых оба события верны.

\[ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]

Проверим произведение \(P(A) \times P(B)\):
\[ \frac{2}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{2 \times 5}{3 \times 36} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} \approx 0.0926 \]

А совместная вероятность: \(\frac{1}{12} \approx 0.0833\).
Они не равны, значит события не независимы.

---

3. События:

• A: «при первом броске выпадет 1 очко»
• B: «хотя бы раз выпадет 3 очка» (в течение двух бросков)

Анализ:
Вероятность A: \(P(A) = \frac{1}{6}\).
Вероятность B: «хотя бы раз 3» — на двух бросках:

• Можно не выбросить 3 ни разу — случаи, где оба броска — не 3.
• Обратное — хотя бы один раз 3.

Расчет:
Вероятность, что на одном броске не выпало 3: \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
Вероятность, что на двух бросках — вообще не выпадет 3: \(\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\).

Тогда вероятность того, что хотя бы раз 3:
\[ P(\text{хотя бы один 3}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \]

Вероятность совместного события:
— событие A: первый бросок — 1, а на втором — любой исход, кроме 3 — \( \frac{1}{6} \) (для первого = 1Очко), второй — любой из 6 — итого 6 исходов.
— условие: первый — 1, второй — любой.
Итак,
\[ P(A \cap B) = P(\text{первый = 1}) \times P(\text{хотя бы один 3 во втором или при первом})\ \] или проще:

• первый — 1 (фиксировано),
• второй — 3 (чтобы выполнить условие B: хотя бы один раз — 3).

Вероятность такого исхода: \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\).

Теперь проверим:
\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{216} \approx 0.0509 \]

согласуются ли с \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} \approx 0.0278\)?

Нет. Значит события не независимы.

---

4. События:

• A: «при первом броске выпало четное число»
• B: «при втором броске выпало меньше 4»

Анализ:
Вероятность A: число 2, 4, 6 — 3 исхода: \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Вероятность B: выпало 1, 2, или 3 — 3 исхода: \(P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Совместное событие \(A \cap B\):

• для первого броска — четное число (2,4,6),
• для второго — меньше 4 (1,2,3).

Всего исходов:

• первый — 3 варианта,
• второй — 3 варианта.
  Всего: 9 исходов из 36.

Из этих:

• если первый — 2, то второй — 1 или 2 или 3, всего 3 исхода: (2,1), (2,2), (2,3).
• если первый — 4, то второй — 1, 2, 3 (тоже 3 исхода): (4,1), (4,2), (4,3).
• если первый — 6, то тоже 3 исхода: (6,1), (6,2), (6,3).

Всего — 3+3+3 = 9 исходов, из 36.

Вероятность \(P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\).

Проверка независимости:
\[P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Совпадает с \(P(A \cap B)\).

Вывод: события A и B независимы.

---

Итог:

• Вариант 1: независимы.
• Вариант 2: не независимы.
• Вариант 3: не независимы.
• Вариант 4: независимы.

---

Если нужно, я могу оформить ответ более коротко или подробно, как пожелаете!