Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие  A A: «при первом броске выпадет  2 2 очка» и событие  B B: «при втором броске выпадет больше  2 2 очков» Событие  A A: «при первом броске выпадет больше  2 2 очков» и событие  B B: «сумма выпавших очков равна  6 6» Событие  A A: «при первом броске выпадет  1 1 очко» и событие  B B: «хотя бы раз выпадет  3 3 очка» Событие  A A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие  B B: «при втором броске выпадет меньше  4 4 очков»

Давайте разберем задачу пошагово. **Что такое независимые события?** Два события считаются независимыми, если выполнение одного события не влияет на вероятность возникновения другого. В контексте броска игральной кости это означает, что результат первого броска не влияет на результат второго. --- ### Общие принципы для решения задачи: - При броске честной шестигранной кости все исходы равновероятны. - Вероятность конкретного исхода равна \(\frac{1}{6}\). - Для проверки независимости нужно понять, влияет ли результат первого броска на вероятность второго. --- ### Рассмотрим каждую пару событий: --- #### 1. События: - **A:** «при первом броске выпадет 2 очка» - **B:** «при втором броске выпадет больше 2 очков» **Анализ:** Вероятность события A: \(P(A) = \frac{1}{6}\) (так как 1 исход — выпадение 2). Вероятность события B — «на втором броске выпало больше 2»: исходы 3, 4, 5, 6 — итого 4 исхода, \(P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). **Совместное событие \(A \cap B\):** Чтобы оба события случились, впервые — выпала 2, а на втором — больше 2. Вероятность этого: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\] Поскольку броски независимы, \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] и это равно \(1/9\), что совпадает с их произведением. **Вывод:** события **A и B независимы**. --- #### 2. События: - **A:** «при первом броске выпадет больше 2 очков» - **B:** «сумма выпавших очков равна 6» **Анализ:** Вероятность A: исходы 3, 4, 5, 6 — итого 4, \(P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Вероятность B: сумма равна 6 — возможные пары: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Всего исходов: 36 (6×6). Пары дающие сумму 6: 5 — ровно 5 исходов. Вероятность B: \(P(B) = \frac{5}{36}\). **Совместное событие \(A \cap B\):** Это — ситуация, когда при первом броске больше 2, а сумма равна 6. - Если первый бросок — 3, то второй — 3 (точно): такая пара — (3,3). - Если первый — 4, то второй — 2 (4,2). - Если первый — 5, второй — 1 (5,1). - Если первый — 6, то второй — 0? — Нет, так как минимум 1 очко; максимум 6. Но так как → сумма должна быть 6, и первый бросок >2, то второй — \(6 -\) первый бросок, если он между 3 и 5, то такой исход: - (3,3), (4,2), (5,1) — итого 3 исхода. Вероятность \(P(A \cap B)\): Всего исходов — 36, число — 3, для которых оба события верны. \[ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Проверим произведение \(P(A) \times P(B)\): \[ \frac{2}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{2 \times 5}{3 \times 36} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} \approx 0.0926 \] А совместная вероятность: \(\frac{1}{12} \approx 0.0833\). Они не равны, значит события **не независимы**. --- #### 3. События: - **A:** «при первом броске выпадет 1 очко» - **B:** «хотя бы раз выпадет 3 очка» (в течение двух бросков) **Анализ:** Вероятность A: \(P(A) = \frac{1}{6}\). Вероятность B: «хотя бы раз 3» — на двух бросках: - Можно не выбросить 3 ни разу — случаи, где оба броска — не 3. - Обратное — хотя бы один раз 3. Расчет: Вероятность, что на одном броске не выпало 3: \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Вероятность, что на двух бросках — вообще не выпадет 3: \(\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\). Тогда вероятность того, что хотя бы раз 3: \[ P(\text{хотя бы один 3}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \] Вероятность совместного события: — событие A: первый бросок — 1, а на втором — любой исход, кроме 3 — \( \frac{1}{6} \) (для первого = 1Очко), второй — любой из 6 — итого 6 исходов. — условие: первый — 1, второй — любой. Итак, \[ P(A \cap B) = P(\text{первый = 1}) \times P(\text{хотя бы один 3 во втором или при первом})\ \] или проще: - первый — 1 (фиксировано), - второй — 3 (чтобы выполнить условие B: хотя бы один раз — 3). Вероятность такого исхода: \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\). Теперь проверим: \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{216} \approx 0.0509 \] согласуются ли с \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} \approx 0.0278\)? Нет. Значит события **не независимы**. --- #### 4. События: - **A:** «при первом броске выпало четное число» - **B:** «при втором броске выпало меньше 4» **Анализ:** Вероятность A: число 2, 4, 6 — 3 исхода: \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Вероятность B: выпало 1, 2, или 3 — 3 исхода: \(P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). **Совместное событие \(A \cap B\):** - для первого броска — четное число (2,4,6), - для второго — меньше 4 (1,2,3). Всего исходов: - первый — 3 варианта, - второй — 3 варианта. Всего: 9 исходов из 36. Из этих: - если первый — 2, то второй — 1 или 2 или 3, всего 3 исхода: (2,1), (2,2), (2,3). - если первый — 4, то второй — 1, 2, 3 (тоже 3 исхода): (4,1), (4,2), (4,3). - если первый — 6, то тоже 3 исхода: (6,1), (6,2), (6,3). Всего — 3+3+3 = 9 исходов, из 36. Вероятность \(P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\). Проверка независимости: \[P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\] Совпадает с \(P(A \cap B)\). **Вывод:** события **A и B независимы**. --- ### Итог: - Вариант 1: **независимы**. - Вариант 2: **не независимы**. - Вариант 3: **не независимы**. - Вариант 4: **независимы**. --- Если нужно, я могу оформить ответ более коротко или подробно, как пожелаете!