Реши
Давайте разберем задачу по порядку:
Задача:
В кафе есть только квадратные столики, за каждый могут сидеть 4 человека.
Если сдвинуть два квадратных столика, получится стол, за который могут сесть 6 человек.
На рисунке изображен случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии, и за получившимся столом могут сидеть 8 человек.
Вопрос: сколько человек может сесть за стол, если сдвинуть на 19 квадратных столиков вдоль одной линии?
Шаг 1. Определим зависимость между количеством столиков и количеством человек.
Обозначим:
- \( x \) — число квадратных столиков первоначально.
- \( y \) — число человек за этих столиков.
Из условия известно:
- За каждое отдельное столовое место — 4 человека.
- Сдвиг двух столиков объединяет их в один, и сумма людей увеличивается до 6.
Шаг 2. Анализируем первые две ситуации
Одна таблица:
- Количество столиков: \( n \)
- Количество людей: \( 4n \) (на каждом по 4 человека)
Объединение двух таблиц:
- Перед объединением: \( 2 \) таблицы, всего \( 2 \times 4 = 8 \) человек.
- После объединения — получается один стол, за который садится 6 человек (не 8).
Это значит:
- При объединении двух столов, вместо 8 человек, за новым столом может сесть 6 человек.
- Следовательно, объединение уменьшает число людей на \( 8 - 6 = 2 \).
Шаг 3. Общая зависимость — как меняется число людей при объединении столов
Полагаем, что:
- Перед объединением: \( 2 \) отдельных столика — \( 8 \) человек.
- После объединения: \( 1 \) стол — \( 6 \) человек.
Разница: \[ 8 - 6 = 2 \]
То есть, при объединении двух столов количество людей уменьшается на 2.
Шаг 4. Обобщление
- При объединении ещё большого количества столов:
- Размер предыдущей таблицы: \( k \) столов — \( 4k \) человек.
- После объединения — один большой стол, за который сядет:
- 8 человек, если объединены 3 столика, и застроили вдоль одной линии (дано).
Можем предположить, что при слиянии \( m \) столов: \[ \text{Человек} = 4m - 2 \times (\text{число объединений}) \]
или более просто:
- При объединении \( m \) столов:
- Начально: \( 4m \) человек.
- После объединения — число человек уменьшается на \( 2 \times (\text{число объединений}) \).
Но так как в случае с 3 и 2 столами разницы явно задано, проще найти закономерность.
Шаг 5. Связь между количеством объединенных столов и количеством человек
Обратим внимание на ситуацию с 3 столами:
- Из условия: если объединить 3 столика, получится стол, за который могут сидеть 8 человек.
Ранее:
- 3 столика — \( 3 \times 4 = 12 \) человек.
- После объединения — 8 человек.
Разница: \[ 12 - 8 = 4 \] предположим, что при объединении 3 столов у нас срезается до 8 человек, то есть на 4 человека меньше, чем по сумме.
Подобным образом, при объединении:
- 2 столов: было 8 человек, стало 6.
- 3 столика: было 12 человек, стало 8.
Наблюдается закономерность:
каждое объединение уменьшает число людей на 2, начиная с 4.
Итоговая формула:
- Объединение \( n \) столов:
\[ \text{Человек} = 4n - 2(k - 1) \]
где \( k \) — число шагов по объединению (\( k = n - 1 \)), то есть сколько раз объединяют.
Но проще — заметить, что:
- 1 столик: 4 человека
- 2 столика: 6 человек (уменьшено на 2)
- 3 столика: 8 человек (уменьшено еще на 2)
Ряд: \[ \text{Человек} = 4 + 2(k - 1) \]
Шаг 6. Итоговое решение
Обратите внимание, что при объединении \( n \) столов (по условию, вдоль линии):
- человек: \( 4 + 2(n - 1) \)
Проверяем:
- \( n=1 \): \[ 4 + 2(1-1) = 4 + 0 = 4 \] совпадает.
- \( n=2 \): \[ 4 + 2(2-1) = 4 + 2 = 6 \] совпадает.
- \( n=3 \): \[ 4 + 2(3-1) = 4 + 4 = 8 \] совпадает.
Значит, формула корректна.
Шаг 7. Расчет для \( n=19 \):
\[ \text{Человек} = 4 + 2(19-1) = 4 + 2 \times 18 = 4 + 36 = 40 \]
Ответ:
На таком столе, если сдвинуть 19 квадратных столиков вдоль одной линии, за ним сможет сесть 40 человек.
