В круге проведена хорда АВ равна 16 дм, которая находится на расстоянии 6 дм от центра круга. Радиус круга равен? Площадь круга равна?

Дано:

• Длина хорды \(AB = 16\,\text{дм}\)
• Расстояние от центра круга до хорды \(d = 6\,\text{дм}\)

Требуется: найти радиус круга \(R\) и площадь круга \(S\).

Шаг 1: Построение и понимание задачи

Рассмотрим центр круга \(O\). Хорда \(AB\) находится на расстоянии \(d=6\,\text{дм}\) от центра.
Проведем перпендикулярную линию от центра \(O\) к хорде \(AB\), точку пересечения обозначим как \(M\). Тогда

• \(OM \perp AB\)
• \(OM = d = 6\,\text{дм}\)

Так как \(M\) — середина хорды (по свойствам перпендикуляра, проведенного из центра к хорде),

• \(AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8\,\text{дм}\).

Шаг 2: Использование прямоугольного треугольника

Рассмотрим треугольник \(OAM\).
Известные стороны:

• \(OA = R\) (радиус) — то, что нужно найти
• \(OM = 6\,\text{дм}\)
• \(AM = 8\,\text{дм}\)

По теореме Пифагора:
\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] \[ R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

Отсюда:
\[ R = \sqrt{100} = 10\,\text{дм} \]

Шаг 3: Выхожу на площадь круга

Площадь круга:
\[ S = \pi R^2 \] \[ S = \pi \times 10^2 = 100\pi\,\text{дм}^2 \]

Итог:

• Радиус круга: \(\boxed{10\,\text{дм}}\)
• Площадь круга: \(\boxed{100\pi\,\text{дм}^2}\) (или примерно \(314,16\,\text{дм}^2\)).

Если нужно более подробное объяснение или пошагово — скажите!