18 В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону вс в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 10. Решение.

Дано: параллелограмм \(ABCD\) с известной стороной \(AB = 10\), и биссектриса угла \(A\), равного \(60^\circ\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(М\). Также известно, что отрезки \(АМ\) и \(DM\) перпендикулярны. Задача: найти периметр параллелограмма. Обозначения: - \(AB = AD = 10\) (так как в параллелограмме противоположные стороны равны), - угол \(A = 60^\circ\), - точка \(М\) лежит на стороне \(BC\), - \(АМ \perp DM\). --- Шаг 1. Анализ условий и обозначения. Так как \(A\) — угол внутри параллелограмма, и его биссектриса делит угол \(A\) на два равных по 30° угла. Обозначим координаты: - \(A = (0, 0)\), - \(B = (10, 0)\), - \(D = (0, h)\), - \(C = (10, h)\), где \(h\) — высота параллелограмма, которую пока неизвестно. Точка \(М\) лежит на стороне \(BC\), которая — горизонтальна, от \(B (10,0)\) до \(C (10, h)\). --- Шаг 2. Выразим биссектрису угла \(A\). Вектор стороны \(AB\): \(\vec{AB} = (10, 0)\). Вектор стороны \(AD\): \(\vec{AD} = (0, h)\). Биссектриса угла \(A\) — это вектор, который делит угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) пополам. Модуль \(\vec{AB} = 10\). Модуль \(\vec{AD} = h\). Нормированные векторы: \[ \hat{u}_{AB} = \left( \frac{10}{10}, 0 \right) = (1,0), \] \[ \hat{u}_{AD} = \left( 0, \frac{h}{h} \right) = (0,1). \] Биссектриса — это сумма этих векторов: \[ \vec{b} = \hat{u}_{AB} + \hat{u}_{AD} = (1, 0) + (0, 1) = (1,1). \] То есть биссектриса идёт из точки \(A (0,0)\) в направлении \( (1,1) \). Она пересекает сторону \(BC\), которая — горизонтальная с координатами \(x=10\). --- Шаг 3. Определение точки пересечения \(М\). - Уравнение биссектрисы из \(A\): \[ x = t,\quad y = t, \] где \(t \geq 0\). - Точка \(М\) лежит на \(BC\), то есть \(x=10\), \(y \in [0,h]\). Приравниваем координаты \(x\): \[ t = 10, \] и тогда \(y=10\). Следовательно, \(М = (10, 10)\). Но чтобы \(М\) лежала внутри стороны \(BC\), необходимо, чтобы \(0 \leq y_M \leq h\), то есть \(10 \leq h\). Также необходимо, чтобы \(M\) был на стороне \(BC\). Следовательно, \(h \geq 10\). --- Шаг 4. Условие перпендикулярности \(АМ \perp DМ\). - \(A = (0, 0)\), - \(M = (10, 10)\), - \(D = (0, h)\), - \(C = (10, h)\). Векторы: \[ \vec{AM} = (10, 10), \] \[ \vec{DM} = (10, 10 - h). \] Перпендикулярность: \[ \vec{AM} \cdot \vec{DM} = 0, \] то есть: \[ (10)(10) + (10)(10 - h) = 0, \] \[ 100 + 10(10 - h) = 0, \] \[ 100 + 100 - 10h = 0, \] \[ 200 - 10h = 0, \] \[ 10h = 200, \] \[ h = 20. \] Следовательно, \(h=20\), что удовлетворяет условию \(h \geq 10\). --- Шаг 5. Информация о параллелограмме. Обозначим: - \(AB = 10\), - \(AD = h = 20\). Параллелограмм — это сжатый или растянутый прямоугольник, с углом \(A=60^\circ\). Обозначение сторон: - \(AB = 10\), - \(AD = 20\), - угол \(A=60^\circ\). Значит, если взять \(AB\) как основание и опустить высоту, то: - сторона \(AD\) — это вектор, образующий угол \(60^\circ\) с \(AB\). --- Шаг 6. Найдем периметр. Параллелограмм имеет две стороны \(AB\) и \(AD\): \[ AB = 10, \] \[ AD = 20. \] Противоположные стороны равны: - \(BC = AB = 10\), - \(CD = AD = 20\). Периметр: \[ P = 2(AB + AD) = 2(10 + 20) = 2 \times 30 = 60. \] --- **Ответ:** \[ \boxed{60} \] Периметр параллелограмма равен **60**.