Задумали трехзначное число которое делится на 45 затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного получили число 72 какое число было задумано

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие. ### Условие задачи: - Задумано трехзначное число, которое делится на 45. - Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц, полученное число вычли из исходного и получили 72. - Нужно определить, какое число было задумано. --- ### Шаг 1. Обозначение чисел Обозначим исходное число как: \[ \textbf{XYZ} \] где: - \(X\) — цифра сотен (от 1 до 9, так как число трехзначное), - \(Y\) — цифра десятков (от 0 до 9), - \(Z\) — цифра единиц (от 0 до 9). Тогда исходное число: \[ 100X + 10Y + Z \] --- ### Шаг 2. Условие делимости на 45 Число делится на 45, а 45 — это 9 и 5 - Для делимости на 5: \(Z\) должно быть равно 0 или 5. - Для делимости на 9: сумма цифр должна быть кратна 9: \[ X + Y + Z \equiv 0 \pmod{9} \] ### Шаг 3. Обозначение нового числа после перестановки После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц: \[ \textbf{X Z Y} \] Это число: \[ 100X + 10Z + Y \] --- ### Шаг 4. Определение уравнения по условию После этого получили следующее: \[ \text{Исходное число} - \text{переставленное число} = 72 \] То есть: \[ (100X + 10Y + Z) - (100X + 10Z + Y) = 72 \] Рассчитаем: \[ 100X + 10Y + Z - 100X - 10Z - Y = 72 \] \[ (10Y - Y) + (Z - 10Z) = 72 \] \[ 9Y - 9Z = 72 \] Или: \[ 9(Y - Z) = 72 \] Следовательно: \[ Y - Z = \frac{72}{9} = 8 \] --- ### Шаг 5. Итоговое условие дляY и Z Итак: \[ Y - Z = 8 \] и при этом \( Z \) — цифра, которая равна 0 или 5 (из делимости на 5) . Рассмотрим два варианта: **Вариант 1:** \( Z = 0 \) Тогда: \[ Y = Z + 8 = 0 + 8 = 8 \] **Вариант 2:** \( Z = 5 \) Тогда: \[ Y = 5 + 8 = 13 \] Но цифра Y — это цифра десятков, не может быть больше 9. Значит, этот вариант невозможен. --- ### Шаг 6. Проверка варианта Z=0, Y=8 Теперь у нас есть: - \( Z = 0 \) - \( Y = 8 \) - \( X \) — цифра сотен, от 1 до 9. Осталось проверить делимость суммы цифр на 9: \[ X + Y + Z = X + 8 + 0 = X + 8 \] Должно делиться на 9, то есть: \[ X + 8 \equiv 0 \pmod{9} \] Значит: \[ X \equiv -8 \equiv 1 \pmod{9} \] Цифра X — цифра от 1 до 9. Значит, \( X = 1, 2, ..., 9 \), и при этом: \[ X \equiv 1 \pmod{9} \] Из возможных значений X, подходящее: \[ X = 1 \] Поскольку \(1 \equiv 1 \pmod{9}\). --- ### Шаг 7. Итоговое число Образец числа: \[ X=1, \quad Y=8, \quad Z=0 \] Следовательно исходное число: \[ 1080 \] Но число должно быть трехзначным: \(1080\) — четырехзначное. Поэтому \(X=1\), но при этом номер десятков и единиц — 8 и 0. Однако число 1080 — это четырехзначное. Значит, X не может быть 1 — тогда ищем другие значения. Поскольку \(X \equiv 1 \pmod{9}\), допустимые X: 1 или 10. Но 10 — не цифра (за пределами 0–9). Значит, единственный вариант — \(X = 1\). Проверим, что происходит: - Исходное число: 180 — это трехзначное. - Проверяем делимость на 45: \[ 180 \div 45 = 4 \] Верно. --- ### **Ответ:** **Задуманное число — 180.** --- ### Проверка: Перестановка цифр: \(X=1, Y=8, Z=0 \) Меняем местами Y и Z: \(X Z Y = 1\,0\,8\) — число 108. Вычитаем: \[ 180 - 108 = 72 \] Все условия выполнены. --- **ИТОГ:** **Задуманное число — 180.**