Задумали трехзначное число которое делится на 45 затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного получили число 72 какое число…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.

Условие задачи:

• Задумано трехзначное число, которое делится на 45.
• Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц, полученное число вычли из исходного и получили 72.
• Нужно определить, какое число было задумано.

---

Шаг 1. Обозначение чисел

Обозначим исходное число как:
\[ \textbf{XYZ} \]
где:

• \(X\) — цифра сотен (от 1 до 9, так как число трехзначное),
• \(Y\) — цифра десятков (от 0 до 9),
• \(Z\) — цифра единиц (от 0 до 9).

Тогда исходное число:
\[ 100X + 10Y + Z \]

---

Шаг 2. Условие делимости на 45

Число делится на 45, а 45 — это 9 и 5

• Для делимости на 5: \(Z\) должно быть равно 0 или 5.
• Для делимости на 9: сумма цифр должна быть кратна 9:
  \[ X + Y + Z \equiv 0 \pmod{9} \]

Шаг 3. Обозначение нового числа после перестановки

После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц:
\[ \textbf{X Z Y} \]
Это число:
\[ 100X + 10Z + Y \]

---

Шаг 4. Определение уравнения по условию

После этого получили следующее:

\[ \text{Исходное число} - \text{переставленное число} = 72 \]

То есть:
\[ (100X + 10Y + Z) - (100X + 10Z + Y) = 72 \]

Рассчитаем:

\[ 100X + 10Y + Z - 100X - 10Z - Y = 72 \]

\[ (10Y - Y) + (Z - 10Z) = 72 \]

\[ 9Y - 9Z = 72 \]

Или:

\[ 9(Y - Z) = 72 \]

Следовательно:

\[ Y - Z = \frac{72}{9} = 8 \]

---

Шаг 5. Итоговое условие дляY и Z

Итак:

\[ Y - Z = 8 \]

и при этом \( Z \) — цифра, которая равна 0 или 5 (из делимости на 5) .

Рассмотрим два варианта:

Вариант 1: \( Z = 0 \)

Тогда:

\[ Y = Z + 8 = 0 + 8 = 8 \]

Вариант 2: \( Z = 5 \)

Тогда:

\[ Y = 5 + 8 = 13 \] Но цифра Y — это цифра десятков, не может быть больше 9. Значит, этот вариант невозможен.

---

Шаг 6. Проверка варианта Z=0, Y=8

Теперь у нас есть:

• \( Z = 0 \)
• \( Y = 8 \)
• \( X \) — цифра сотен, от 1 до 9.

Осталось проверить делимость суммы цифр на 9:

\[ X + Y + Z = X + 8 + 0 = X + 8 \]

Должно делиться на 9, то есть:

\[ X + 8 \equiv 0 \pmod{9} \]

Значит:

\[ X \equiv -8 \equiv 1 \pmod{9} \]

Цифра X — цифра от 1 до 9.
Значит, \( X = 1, 2, ..., 9 \), и при этом:

\[ X \equiv 1 \pmod{9} \]

Из возможных значений X, подходящее:

\[ X = 1 \]

Поскольку \(1 \equiv 1 \pmod{9}\).

---

Шаг 7. Итоговое число

Образец числа:

\[ X=1, \quad Y=8, \quad Z=0 \]

Следовательно исходное число:
\[ 1080 \]

Но число должно быть трехзначным: \(1080\) — четырехзначное. Поэтому \(X=1\), но при этом номер десятков и единиц — 8 и 0.

Однако число 1080 — это четырехзначное. Значит, X не может быть 1 — тогда ищем другие значения.

Поскольку \(X \equiv 1 \pmod{9}\), допустимые X: 1 или 10. Но 10 — не цифра (за пределами 0–9). Значит, единственный вариант — \(X = 1\).

Проверим, что происходит:

• Исходное число: 180 — это трехзначное.
• Проверяем делимость на 45:

\[ 180 \div 45 = 4 \]

Верно.

---

Ответ:

Задуманное число — 180.

---

Проверка:

Перестановка цифр: \(X=1, Y=8, Z=0 \)

Меняем местами Y и Z: \(X Z Y = 1\,0\,8\) — число 108.

Вычитаем:

\[ 180 - 108 = 72 \]

Все условия выполнены.

---

ИТОГ: Задуманное число — 180.