В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 15, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. Обозначения: - Пусть изначально в погребе было **X** головок сыра. - В первую ночь пришли все мышки (их количество обозначим как **N**). - В это ночь мышки съели 8 головок сыра, причём все одинаково, значит каждая мышка съела **8 / N** головок. ### Шаг 1: Определяем, сколько осталось сыра после первой ночи После первой ночи количество сыра уменьшилось на 8 головок: \[ \text{Остаток после первой ночи} = X - 8 \] ### Шаг 2: Вторая ночь На вторую ночь пришли только 15 мышек. Каждая съела в 4 раза меньше, чем мышки на первую ночь. - В первый раз каждая мышка съела \(\frac{8}{N}\). - Тогда во вторую ночь каждая мышка съела: \(\frac{1}{4} \times \frac{8}{N} = \frac{8}{4N} = \frac{2}{N}\). Общее количество сыра, съеденное во вторую ночь: \[ 15 \times \frac{2}{N} = \frac{30}{N} \] ### Шаг 3: Остаток сыра после второй ночи После второй ночи весь сыр, оставшийся после первой ночи, уменьшится на \(\frac{30}{N}\): \[ \text{Остаток после второй ночи} = (X - 8) - \frac{30}{N} \] ### Шаг 4: Выражение конечного результата Из условия видно, что весь сыр был съеден по итогу двух ночей, то есть \[ X = 8 + \frac{30}{N} \] Поскольку после второй ночи сыра не осталось, то остаток равен нулю: \[ (X - 8) - \frac{30}{N} = 0 \] Подставим выражение для \(X\): \[ (8 + \frac{30}{N} - 8) - \frac{30}{N} = 0 \] Упростим: \[ \frac{30}{N} - \frac{30}{N} = 0 \] Это выполняется при условии, что: \[ X = 8 + \frac{30}{N} \] ### Шаг 5: Выбираем целое число \(N\) Чтобы количество сыра \(X\) было целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{30}{N}\) было целым числом. Следовательно, \(N\) – делитель 30. Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Подаем каждый возможный вариант: - Если \(N=1\), тогда \[ X = 8 + \frac{30}{1} = 8 + 30 = 38 \] - Если \(N=2\), тогда \[ X = 8 + \frac{30}{2} = 8 + 15 = 23 \] - Если \(N=3\), тогда \[ X = 8 + 10 = 18 \] - Если \(N=5\), тогда \[ X = 8 + 6 = 14 \] - Если \(N=6\), тогда \[ X=8 + 5 = 13 \] - Если \(N=10\), тогда \[ X=8 + 3=11 \] - Если \(N=15\), тогда \[ X=8+2=10 \] - Если \(N=30\), тогда \[ X=8 + 1=9 \] ### Шаг 6: Проверка логики задачи Обычно, для такого типа задач, количество мышек — целое и достаточно большое число, но также важно, чтобы в первых ночных условиях мышки могли съесть 8 головок поровну. Например, если \(N=1\), то одна мышка съела все 8 головок, что вполне возможно. Если рассматривать более вероятные сценарии, то самый подходящий — минимальное целое, где и деление 8 на N было целым (например, N=8). Тогда: \[ N=8 \Rightarrow X=8 + \frac{30}{8} = 8 + 3.75 \] Но \(X\) получается не целым по условию. Поэтому надо взять делитель 30, для которого \(\frac{30}{N}\) — целое число. Этот критерий удовлетворяют значения: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Наиболее логичное число — \(N=5\): \[ X=14 \] ### **Ответ:** **В погребе было 14 головок сыра.** Это число соответствует условию, что сыра всего хватит на две ночи, а вторая ночь пришли 15 мышек, каждой из которых было в 4 раза меньше сыра, чем на первой, и весь сыр был съеден за обе ночи.