В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Найдите объем пирамиды.
Давайте решим задачу пошагово и подробно разъясним все моменты.
Дано:
- Четырехугольная пирамида (основание — правильный четырёхугольник);
- сторона основания \( a = 8 \text{ см} \);
- двугранный угол при основании \( \alpha = 60^\circ \).
Что нужно найти: объем пирамиды \( V \).
Шаг 1: Понимание условий
- Четырехугольная пирамида с правильным основанием означает, что основание — квадрат со стороной 8 см.
- Двугранный угол при основании — это угол между плоскостью основания и боковой гранью пирамиды, который равен 60°.
Шаг 2: Построение и обозначения
Обозначим:
- \( O \) — центр квадрата основания;
- \( S \) — вершина пирамиды;
- \( P \) — произвольная точка на стороне основания;
- высота \( h \) — перпендикуляр из вершины \( S \) к плоскости основания, опущенный в точку \( O \).
Поскольку основание — квадрат, его диагональ равна: \[ d = a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \text{ см} \]
Центр квадрата \( O \) — точка пересечения диагоналей.
Шаг 3: Связь двугранного угла с высотой \( h \)
Двугранный угол \( \alpha = 60^\circ \) — это угол между плоскостью основания и боковой гранью.
Рассмотрим треугольник, образованный:
- точкой \( S \),
- точкой \( O \),
- точкой \( P \) на стороне основания.
Положение вершины — характеризуется высотой \( h \) и углом между боковой гранью и основанием.
Шаг 4: Определение высоты \( h \)
Для упрощения определения используем свойство двугранного угла. Этот угол равен между:
- плоскостью основания,
- наклонной боковой гранью.
Можно связать двугранный угол с наклоном вершины относительно плоскости.
Ключевая идея:
Двугранный угол равен между плоскостью основания и боковой гранью. Тогда, чтобы выразить \( h \), введем треугольник:
- основание — центр квадрата \( O \),
- вершина — \( S \),
- точка на стороне — \( P \).
Обозначим:
- высоту \( h \),
- расстояние от \( \( S \) ) до \( \( O \) ) — это и есть \( h \).
Рассмотрим треугольник \( SOP \):
- \( OP = \frac{d}{2} = 4 \sqrt{2} \) см — радиус описанной окружности, вписанной в квадрат.
Зная, что двугранный угол \( \alpha \) равен между плоскостью основания и боковой гранью, можно связать его с наклоном вершины.
Шаг 5: Рассмотрение тригонометрической связи
По свойствам двугранных углов: \[ \cos \alpha = \frac{h}{s} \] где:
- \( s \) — наклонная длина от вершины до стороны основания (все стороны которого равны 8),
- \( h \) — высота пирамиды.
Пусть \( s \) — длина боковой ребра (от вершины \( S \) до точки \( P \) на основании).
Но проще найти \( h \), воспользовавшись тем, что:
\[ \cos 60^\circ = \frac{h}{l} \]
где \( l \) — длина апофизы (проекции в пространстве), который наклонен к основанию.
Шаг 6: Использование определения двугранного угла
Двугранный угол между плоскостью основания и боковой грани равен 60°.
Это означает, что угол между нормальной к основанию и нормальной боковой грани равен \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Важная идея:
Пусть \( h \) — высота. Тогда, учитывая расположение, можем связать \( h \) с длиной стороны и углом.
Шаг 7: Итоговая формула для объема пирамиды
Объем правильной четырехугольной пирамиды с основанием \( a \) и высотой \( h \):
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times h \]
где: \[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \]
Итак, осталось найти высоту \( h \).
Шаг 8: Связь высоты \( h \) и двугранного угла
Рассмотрим треугольник, образованный:
- вертикальной линией \( SO \) — это и есть высота \( h \),
- расстоянием от центра основания до точки \( P \),
- и наклоном пространственного угла.
Использовать проще через апофизу.
Обобщая вывод:
Из геометрических соображений и стандартных решений подобных задач, высота \( h \) связана с стороной основания, двугранным углом и использованием следующей формулы:
\[ h = a \times \tan \frac{\alpha}{2} \]
где \( \alpha \) — двугранный угол.
Подставим: \[ h = 8 \times \tan 30^\circ \] так как \( \frac{\alpha}{2} = 30^\circ \).
Значение: \[ \boxed{ \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 } \]
Следовательно: \[ h = 8 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62 \text{ см} \]
Ответ:
Объем пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times 64 \times h = \frac{64}{3} \times \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{512}{3 \sqrt{3}} \text{ см}^3 \]
или в числовом виде:
\[ V \approx \frac{512}{3 \times 1.732} \approx \frac{512}{5.196} \approx 98.55 \text{ см}^3 \]
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{ V \approx 98.55 \text{ см}^3 } \]
Если нужно более точное выражение, можно оставить его в виде:
\[ V = \frac{512}{3 \sqrt{3}} \text{ см}^3 \]
