Задумали трёхзначное число, которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число…

Давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1. Условие задачи

• Задуманное число — трехзначное, большее 700.
• Оно делится на 15.
• Мы меняем местами цифры в разрядах десятков и единиц.
• После этого вычитаем новое число из исходного, и результат равен 54.

Обозначим число так:
\( \text{число} = 100a + 10b + c \),
где:

• \(a\) — цифра сотен (от 7 до 9, потому что число > 700),
• \(b\) — цифра десятков,
• \(c\) — цифра единиц.

Шаг 2. Условие деления на 15

Число делится на 15, значит:

• Оно делится на 3 и на 5.
• Для делимости на 5: \(c = 0\) или \(c = 5\).
• Для делимости на 3: сумма цифр делится на 3, то есть \(a + b + c\) делится на 3.

Так как число > 700 и делится на 15, возможные сотни: \(a = 7,8,9\).
Попробуем оба варианта.

Шаг 3. Меняем местами цифры десятков и единиц

Обозначим новое число после обмена: \[ \text{новое число} = 100a + 10c + b \]

Шаг 4. Отношение исходного и нового чисел

По условию: \[ \text{исходное число} - \text{новое число} = 54 \]

Запишем: \[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 54 \]

Раскроем скобки: \[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 54 \]

Сделаем упрощения: \[ (10b - b) + (c - 10c) = 54 \] \[ 9b - 9c = 54 \]

Вынесем 9 за скобки: \[ 9(b - c) = 54 \] \[ b - c = 6 \]

Шаг 5. Условия по цифрам

Мы имеем:

• \(b - c = 6\),
• \(c = 0\) или \(c = 5\).

Рассмотрим оба варианта.

---

Вариант 1: \( c = 0 \)

Тогда: \[ b - 0 = 6 \Rightarrow b = 6 \]

Проверим делимость на 3:

Сумма цифр: \(a + b + c = a + 6 + 0 = a + 6\).

• Для \(a = 7,8,9\):
  • \(7 + 6 = 13\) — не делится на 3.
  • \(8 + 6 = 14\) — не делится на 3.
  • \(9 + 6 = 15\) — делится на 3.

Значит, подходящее значение:
\( a = 9 \), \(b = 6\), \( c=0 \).

Проверим число:
\[ \text{число} = 100 \times 9 + 10 \times 6 + 0 = 900 + 60 + 0 = 960 \]

Оно больше 700 — да.

Проверим делимость на 15:

• Последняя цифра \( c=0 \), делится на 5 — да.
• Сумма цифр: \(9 + 6 + 0 = 15\), делится на 3 — да.
  Значит, число делится на 15.

---

Вариант 2: \( c = 5 \)

Тогда: \[ b - 5 = 6 \Rightarrow b = 11 \text{ (нельзя, так как цифры не превышают 9).} \]

Значит, этот вариант не подходит.

---

Итог

Задуманное число — 960.

Проверка:

• Число 960 больше 700 — верно.

• Делится на 15 — да (последняя цифра 0, сумма цифр 15 — делится на 3).

• Обмен местами десятков и единиц:
  \( a=9, b=6, c=0 \)

  После обмена:
  \( 100 \times 9 + 10 \times 0 + 6 = 900 + 0 + 6 = 906 \)

• Вычитаем:
  \( 960 - 906 = 54 \)

Все условия выполнены.

Ответ: задуманное число — 960.