Давайте пошагово решим задачу.
Шаг 1. Условие задачи
- Задуманное число — трехзначное, большее 700.
- Оно делится на 15.
- Мы меняем местами цифры в разрядах десятков и единиц.
- После этого вычитаем новое число из исходного, и результат равен 54.
Обозначим число так:
( \text{число} = 100a + 10b + c ),
где:
- (a) — цифра сотен (от 7 до 9, потому что число > 700),
- (b) — цифра десятков,
- (c) — цифра единиц.
Шаг 2. Условие деления на 15
Число делится на 15, значит:
- Оно делится на 3 и на 5.
- Для делимости на 5: (c = 0) или (c = 5).
- Для делимости на 3: сумма цифр делится на 3, то есть (a + b + c) делится на 3.
Так как число > 700 и делится на 15, возможные сотни: (a = 7,8,9).
Попробуем оба варианта.
Шаг 3. Меняем местами цифры десятков и единиц
Обозначим новое число после обмена:
[ \text{новое число} = 100a + 10c + b ]
Шаг 4. Отношение исходного и нового чисел
По условию:
[ \text{исходное число} - \text{новое число} = 54 ]
Запишем:
[
(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 54
]
Раскроем скобки:
[
100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 54
]
Сделаем упрощения:
[
(10b - b) + (c - 10c) = 54
]
[
9b - 9c = 54
]
Вынесем 9 за скобки:
[
9(b - c) = 54
]
[
b - c = 6
]
Шаг 5. Условия по цифрам
Мы имеем:
- (b - c = 6),
- (c = 0) или (c = 5).
Рассмотрим оба варианта.
Вариант 1: ( c = 0 )
Тогда:
[
b - 0 = 6 \Rightarrow b = 6
]
Проверим делимость на 3:
Сумма цифр: (a + b + c = a + 6 + 0 = a + 6).
- Для (a = 7,8,9):
- (7 + 6 = 13) — не делится на 3.
- (8 + 6 = 14) — не делится на 3.
- (9 + 6 = 15) — делится на 3.
Значит, подходящее значение:
( a = 9 ), (b = 6), ( c=0 ).
Проверим число:
[ \text{число} = 100 \times 9 + 10 \times 6 + 0 = 900 + 60 + 0 = 960 ]
Оно больше 700 — да.
Проверим делимость на 15:
- Последняя цифра ( c=0 ), делится на 5 — да.
- Сумма цифр: (9 + 6 + 0 = 15), делится на 3 — да.
Значит, число делится на 15.
Вариант 2: ( c = 5 )
Тогда:
[
b - 5 = 6 \Rightarrow b = 11 \text{ (нельзя, так как цифры не превышают 9).}
]
Значит, этот вариант не подходит.
Итог
Задуманное число — 960.
Проверка:
Число 960 больше 700 — верно.
Делится на 15 — да (последняя цифра 0, сумма цифр 15 — делится на 3).
Обмен местами десятков и единиц:
( a=9, b=6, c=0 )
После обмена:
( 100 \times 9 + 10 \times 0 + 6 = 900 + 0 + 6 = 906 )
Вычитаем:
( 960 - 906 = 54 )
Все условия выполнены.
Ответ: задуманное число — 960.
