Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 20 20 минут, а затем…

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние между городами: \( 105 \) км
• Скорость первого велосипедиста: \( 36 \) км/ч
• Скорость второго велосипедиста: \( 18 \) км/ч
• Остановка первого велосипедиста на 20 минут (\( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа)

Нам нужно найти расстояние от второго города до места встречи.

---

Шаг 1: Обозначим переменные

Обозначим:

• \( t_1 \) — время, которое первый велосипедист ехал до остановки,
• \( t_2 \) — время, которое второй велосипедист ехал до встречи.
• Пусть \( d_2 \) — расстояние, которое проехал второй велосипедист до места встречи (это и есть искомое, его нужно найти).

Заметим, что первый велосипедист после остановки двигался некоторое время после остановки, и затем встретился с вторым.

---

Шаг 2: Рассмотрим путь первого велосипедиста

Путь первого велосипедиста до остановки:
\[ d_{\text{до остановки}} = v_1 \times t_1 = 36 \times t_1 \quad \text{(км)} \]

После остановки он отдыхает 20 минут (1/3 часа), затем продолжает путь до встречи:

Общее время, которое он едет после остановки, — \( t_1' \).

Тогда общее время его пути — \( t_1 + \frac{1}{3} + t_1' \).

За всё время путь первого велосипедиста составляет:

\[ \text{общий путь} = 36 \times (t_1 + t_1') \]

---

Шаг 3: Рассмотрим путь второго велосипедиста

Второй велосипедист едет \( t_2 \) часов, за это время он проедет:

\[ d_2 = 18 \times t_2 \]

Поскольку оба стартовали из разных городов одновременно и встретились, то сумма пройденных расстояний равна расстоянию между городами:

\[ d_{\text{первый}} + d_{\text{второй}} = 105\, \text{км} \]

Обратите внимание, что первый велосипедист до встречи проедет:

\[ (36 \times t_1) + \text{длина пути после остановки} \]

И всё это равно сумме до точки встречи.

---

Шаг 4: Время встречи

Очевидно, что время до встречи у обоих велосипедистов — одинаковое, так как они начали одновременно и встретились в одной точке. Значит:

\[ t_1 + \frac{1}{3} + t_1' = t_2 \]

(потому что первый велосипедист в пути, включающем поездку до остановки, остановку и продолжение движения, занял время \( t_1 + \frac{1}{3} + t_1' \), которое равно времени второго велосипедиста \( t_2 \), потому что оба начали одновременно и встретились одновременно).

---

Шаг 5: Запишем уравнение для расстояний

Для первого велосипедиста:

\[ d_{\text{первый}} = 36 \times (t_1 + t_1') \]

Для второго велосипедиста:

\[ d_{\text{второй}} = 18 \times t_2 \]

Общая длина:

\[ d_{\text{первый}} + d_{\text{второй}} = 105 \]

Подставим:

\[ 36 (t_1 + t_1') + 18 t_2 = 105 \]

Но, поскольку \( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} + t_1' \), то:

\[ 36 (t_1 + t_1') + 18 (t_1 + \frac{1}{3} + t_1') = 105 \]

Раскроем:

\[ 36 t_1 + 36 t_1' + 18 t_1 + 6 + 18 t_1' = 105 \]

Объединим подобные:

\[ (36 t_1 + 18 t_1) + (36 t_1' + 18 t_1') + 6 = 105 \]

\[ 54 t_1 + 54 t_1' + 6 = 105 \]

Вычтем 6:

\[ 54 t_1 + 54 t_1' = 99 \]

И вынесем \( 54 \):

\[ 54 (t_1 + t_1') = 99 \]

Отсюда:

\[ t_1 + t_1' = \frac{99}{54} = \frac{11}{6} = 1.\overline{83} \text{ часа} \]

---

Шаг 6: Найдём расстояние от второго города до точки встречи

Дорога второго велосипедиста до встречи:

\[ d_2 = 18 t_2 \]

А \( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} + t_1' \), и мы нашли сумму \( t_1 + t_1' \):

\[ t_2 = (t_1 + t_1') + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} + \frac{1}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{11}{6} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} + \frac{2}{6} = \frac{13}{6} \]

Теперь найдём \( d_2 \):

\[ d_2 = 18 \times \frac{13}{6} = 3 \times 13 = 39\, \text{км} \]

---

Ответ:

Расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи — 39 км.