Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Расстояние между городами: ( 105 ) км
- Скорость первого велосипедиста: ( 36 ) км/ч
- Скорость второго велосипедиста: ( 18 ) км/ч
- Остановка первого велосипедиста на 20 минут (( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ) часа)
Нам нужно найти расстояние от второго города до места встречи.
Шаг 1: Обозначим переменные
Обозначим:
- ( t_1 ) — время, которое первый велосипедист ехал до остановки,
- ( t_2 ) — время, которое второй велосипедист ехал до встречи.
- Пусть ( d_2 ) — расстояние, которое проехал второй велосипедист до места встречи (это и есть искомое, его нужно найти).
Заметим, что первый велосипедист после остановки двигался некоторое время после остановки, и затем встретился с вторым.
Шаг 2: Рассмотрим путь первого велосипедиста
Путь первого велосипедиста до остановки:
[
d_{\text{до остановки}} = v_1 \times t_1 = 36 \times t_1 \quad \text{(км)}
]
После остановки он отдыхает 20 минут (1/3 часа), затем продолжает путь до встречи:
Общее время, которое он едет после остановки, — ( t_1' ).
Тогда общее время его пути — ( t_1 + \frac{1}{3} + t_1' ).
За всё время путь первого велосипедиста составляет:
[
\text{общий путь} = 36 \times (t_1 + t_1')
]
Шаг 3: Рассмотрим путь второго велосипедиста
Второй велосипедист едет ( t_2 ) часов, за это время он проедет:
[
d_2 = 18 \times t_2
]
Поскольку оба стартовали из разных городов одновременно и встретились, то сумма пройденных расстояний равна расстоянию между городами:
[
d_{\text{первый}} + d_{\text{второй}} = 105, \text{км}
]
Обратите внимание, что первый велосипедист до встречи проедет:
[
(36 \times t_1) + \text{длина пути после остановки}
]
И всё это равно сумме до точки встречи.
Шаг 4: Время встречи
Очевидно, что время до встречи у обоих велосипедистов — одинаковое, так как они начали одновременно и встретились в одной точке. Значит:
[
t_1 + \frac{1}{3} + t_1' = t_2
]
(потому что первый велосипедист в пути, включающем поездку до остановки, остановку и продолжение движения, занял время ( t_1 + \frac{1}{3} + t_1' ), которое равно времени второго велосипедиста ( t_2 ), потому что оба начали одновременно и встретились одновременно).
Шаг 5: Запишем уравнение для расстояний
Для первого велосипедиста:
[
d_{\text{первый}} = 36 \times (t_1 + t_1')
]
Для второго велосипедиста:
[
d_{\text{второй}} = 18 \times t_2
]
Общая длина:
[
d_{\text{первый}} + d_{\text{второй}} = 105
]
Подставим:
[
36 (t_1 + t_1') + 18 t_2 = 105
]
Но, поскольку ( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} + t_1' ), то:
[
36 (t_1 + t_1') + 18 (t_1 + \frac{1}{3} + t_1') = 105
]
Раскроем:
[
36 t_1 + 36 t_1' + 18 t_1 + 6 + 18 t_1' = 105
]
Объединим подобные:
[
(36 t_1 + 18 t_1) + (36 t_1' + 18 t_1') + 6 = 105
]
[
54 t_1 + 54 t_1' + 6 = 105
]
Вычтем 6:
[
54 t_1 + 54 t_1' = 99
]
И вынесем ( 54 ):
[
54 (t_1 + t_1') = 99
]
Отсюда:
[
t_1 + t_1' = \frac{99}{54} = \frac{11}{6} = 1.\overline{83} \text{ часа}
]
Шаг 6: Найдём расстояние от второго города до точки встречи
Дорога второго велосипедиста до встречи:
[
d_2 = 18 t_2
]
А ( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} + t_1' ), и мы нашли сумму ( t_1 + t_1' ):
[
t_2 = (t_1 + t_1') + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} + \frac{1}{3}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{11}{6} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} + \frac{2}{6} = \frac{13}{6}
]
Теперь найдём ( d_2 ):
[
d_2 = 18 \times \frac{13}{6} = 3 \times 13 = 39, \text{км}
]
Ответ:
Расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи — 39 км.
