Давайте решим каждую задачу по порядку, используя диаграмму Эйлера и логические рассуждения.
Задача 1
В зоопарке на Дне открытых дверей участвовали дети в двух программах:
- Фото с пингвинами: 10 детей
- Катание на слонах: 35 детей
- Однако участвовали и в обеих программах: 5 детей
Нужно найти число детей, которые участвовали только в одной программе.
Обозначим:
- ( A ): дети, участвовавшие в фотосессии с пингвинами
- ( B ): дети, участвовавшие в катании на слонах
Дано:
- ( |A| = 10 )
- ( |B| = 35 )
- ( |A \cap B| = 5 )
Количество детей, участвовавших только в фотосессии:
[ |A \setminus B| = |A| - |A \cap B| = 10 - 5 = 5 ]
Количество детей, участвовавших только в катании на слонах:
[ |B \setminus A| = |B| - |A \cap B| = 35 - 5 = 30 ]
Общее число детей, участвовавших только в одной программе:
[ 5 + 30 = 35 ]
Ответ: 35 детей
Задача 2
Из 85 туристов:
- Посетить театр хотят 45
- Посетить музей хотят 42
- Посетить и театр, и музей хотят 15
Нужно найти, сколько детей собирается пойти на экскурсию, т.е. тех, кто НЕ хочет посетить ни театр, ни музей.
Обозначим:
- ( T ): дети, желающие пойти в театр
- ( M ): дети, желающие пойти в музей
- ( T \cap M ): желающие и то, и другое: 15
Используем формулу для объединения множеств:
[ |T \cup M| = |T| + |M| - |T \cap M| ]
Подставляем:
[ |T \cup M| = 45 + 42 - 15 = 72 ]
Всего туристов:
[ 85 ]
Туристы, желающие пойти либо в театр, либо в музей:
[ 72 ]
Следовательно, туристы, которые хотят пойти в экскурсию (то есть не хотят ни в театр, ни в музей):
[ 85 - 72 = 13 ]
Ответ: 13 туристов
Задача 4
Среди гидов:
- 7 — переводчики
- Среди переводчиков: 12 — гиды
Вопрос: кого меньше — гидов или переводчиков?
Обозначим:
- ( G ): гиды
- ( P ): переводчики
Дано:
- ( |P| = 7 )
- ( |G \cap P| = 12 )
Обратите внимание: чтобы быть гидом и переводчиком одновременно, число таких лиц должно быть не больше, чем общее число переводчиков, то есть не может быть больше 7. но дано, что среди переводчиков 12, и среди них есть гиды. Значит, среди переводчиков 12 — это число лиц, которые одновременно являются гидами и переводчиками.
Но тут важно понять, что:
- Всего переводчиков: 7
- Среди них: 12 гидов, что невозможно, так как число не может превышать всего количества переводчиков.
Значит, вопрос, вероятно, неправильен или хитрый: скорее всего, речь идет о том, что 7 — это число гидов, а 12 — число переводчиков, и из них часть пересекается.
Итак:
- Гидов: ( |G| = 7 )
- Переводчиков: ( |P| = 12 )
- Пересечение: ( |G \cap P| \leq 7 ) (так как пересечение не может быть больше меньшей группы)
Отсюда можно сделать вывод:
- Гиды — 7
- Переводчиков — 12
- Пересечение не превышает 7.
Значит, гидов меньше, чем переводчиков.
Ответ: Гидов
Задача 5
Всего школьников: 21
Обстоятельства:
- Все, кто принёс муку, принёс также и сахар.
- 17 забыли муку
- 6 забыли сахар
Нужно найти, сколько школьников принесли муку, меньше, чем сколько принесли сахар, забыл муку.
Обозначим:
- ( M ): школьники, принёсшие муку
- ( S ): школьники, принёсшие сахар
- ( M' ): школьники, принёсшие муку и забывшие сахар
- ( S' ): школьники, принёсшие сахар и забывшие муку
Из условий:
- ( |M'| = 17 ) (забыли муку, т.е. не принесли)
- ( |S'| = 6 ) (забыли сахар, т.е. не принесли)
- Те, кто принёс муку, принесли также и сахар, так что:
[ M \subseteq S ]
И ещё, все, кто принёс муку, принесли сахар, значит, те, кто принесли муку, не в числах забывших сахар.
Значит, школьников, принёсших муку:
[ |M| = 21 - 17 = 4 ]
(так как 17 забыли муку, значит, 4 принесли муку).
Школьники, у которых есть сахар, в количестве:
[ |S| = 21 - 6 = 15 ]
(так как 6 забыли сахар, значит, 15 принесли сахар).
Нам нужно найти разницу:
- число школьников, которые принесли муку, и число тех, кто принёс сахар, но забыл муку.
Но так как все, кто принёс муку, обязаны были принести и сахар, а те, кто забыл муку, могли либо принести, либо нет.
Нас интересует число школьников, которые принесли муку, но забыли её — это ( M' ), однако из условий:
- ( |M'| = 17 )
- А
принесшие муку = 4, что противоречит тому, что 17 забыли муку.
Значит, условие о том, что все, кто принёс муку, принесли также и сахар, некорректно истолковано, оно может означать только, что те, кто принёс муку, обязательно принесли и сахар. Тогда:
- ( |M| = ) число, кто принёс муку
- ( M \subseteq S )
Если 17 забыли муку, то:
[ |M| = 21 - 17 = 4 ]
Если 6 забыли сахар:
[ |S| = 21 - 6 = 15 ]
Итак, на вопрос: "На сколько число школьников, которые принесли муку, меньше числа тех, кто принёс сахар, но забыл муку"?
Но такие школьники, которые принесли сахар и забыли муку, — это ( S \setminus M ), я так понимаю.
Число таких:
[ |S \setminus M| = |S| - |S \cap M| ]
Поскольку все, кто принёс муку, принесли и сахар, тогда:
[ M \subseteq S \Rightarrow |S \cap M| = |M| = 4 ]
Тогда:
[ |S \setminus M| = 15 - 4 = 11 ]
Те, кто принёс сахар, но забыл муку — это 11 человек.
А число школьников, принёсших муку — 4.
Теперь ищем разницу:
[ 11 - 4 = 7 ]
Ответ: 7
Итоговые ответы
- Задача 1: 35 детей
- Задача 2: 13 туристов
- Задача 4: Гидов
- Задача 5: 7
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор других задач — пишите!
