Давайте подробно разберем задачу и найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины (Y) — число мальчиков в семье из 3 детей, при условии, что вероятность рождения мальчика равна (p = 0,447).
Шаг 1: Определение случайной величины (Y)
- (Y) — число мальчиков в семье из 3 детей.
- Предположим, что рождение каждого ребенка — это независимое событие.
- Т.к. вероятность рождения мальчика равна (p = 0,447), то вероятность рождения девочки — (q = 1 - p = 0,553).
Шаг 2: Формулировка модели
(Y) — это биномиальная случайная величина с параметрами:
- (n = 3) (количество детей),
- (p = 0,447) (вероятность рождения мальчика).
Обозначим: (Y \sim \text{Binomial}(n=3, p=0,447)).
Шаг 3: Формула для математического ожидания
[
E[Y] = n \times p
]
Подставляем значения:
[
E[Y] = 3 \times 0,447 = 1,341
]
Округление до сотых:
[
\boxed{E[Y] \approx 1,34}
]
Шаг 4: Формула для дисперсии
Дисперсия биномиальной случайной величины:
[
D[Y] = n \times p \times q
]
где (q = 1 - p = 0,553).
Подставляем значения:
[
D[Y] = 3 \times 0,447 \times 0,553
]
Вычислим:
[
D[Y] = 3 \times (0,447 \times 0,553) = 3 \times 0,247191
]
[
D[Y] \approx 3 \times 0,2472 = 0,7416
]
Округление до сотых:
[
\boxed{D[Y] \approx 0,74}
]
Итоговый ответ:
[
\boxed{
\begin{aligned}
& \text{Математическое ожидание } E[Y] \approx 1,34 \
& \text{Дисперсия } D[Y] \approx 0,74
\end{aligned}
}
]
Если понадобятся дополнительные объяснения — обращайтесь!
