6) Найдите корни уравнения и установите соответствие с ответом: 1) log₀,₆(x+3)+log₀,₆(x-3)=log₀,₆(2x-1); 2) log₂₃(2x-1)-log₂₃x=0 3) log₁/₆(7x-9)=log₁/₆x; 4) log₇(x²-12x+36)=0 A) 2…

Рассмотрим каждое задание по порядку. Объясню пошагово, чтобы было понятно, как находить корни и решать неравенства с логарифмами.

---

Задача 6: Найти корни уравнений и установить соответствие

1) \(\log_{0.6}(x+3)+\log_{0.6}(x-3)=\log_{0.6}(2x-1)\)

Шаг 1: Используем свойство логарифмов:
\(\log a + \log b = \log(ab)\)

Получаем:
\(\log_{0.6}[(x+3)(x-3)] = \log_{0.6}(2x-1)\)

Шаг 2: Так как основания логарифмов равны и они не равны 1,
при равенстве логарифмов:
\[(x+3)(x-3) = 2x - 1\]

Шаг 3: Раскроем скобки:
\[x^2 - 9 = 2x - 1\]

Шаг 4: Перенесем все в левую часть:
\[x^2 - 2x - 8 = 0\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36\)

Корни:
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\]

Получаем:
\[x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\]

Шаг 6: Проверка условий определения логарифмов:

• \(\log_{0.6}(x+3)\): аргумент > 0 \(\Rightarrow x+3 >0 \Rightarrow x > -3\)
• \(\log_{0.6}(x-3)\): \(x-3 >0 \Rightarrow x > 3\)

Самое строгое условие: \(x > 3\)

Общий аргумент \(2x - 1\) тоже должен быть > 0:

• \(2x-1 >0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\), что уже не более строго чем \(x > 3\).

Из решений:

• \(x=4\) — подходит, потому что \(4 > 3\)
• \(x=-2\) — не подходит, так как не удовлетворяет \(x > 3\).

Ответ: \(x=4\)

---

2) \(\log_{2/3}(2x-1) - \log_{2/3} x = 0\)

Шаг 1: Используем свойство:
\(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\)

Получаем:
\(\log_{2/3} \frac{2x-1}{x} = 0\)

Шаг 2: Значение логарифма равно 0, если аргумент равен 1:
\(\frac{2x-1}{x} = 1\)

Шаг 3: Решим уравнение:
\(\frac{2x-1}{x} = 1 \Rightarrow 2x - 1 = x \Rightarrow 2x - x = 1 \Rightarrow x=1\)

Шаг 4: Проверим область определения:

• аргумент \(2x-1 > 0 \Rightarrow 2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)
• аргумент \(x > 0\)

Наше решение \(x=1\) — удовлетворяет областям.

Ответ: \(x=1\)

---

3) \(\log_{1/6}(7x-9) = \log_{1/6} x\)

Шаг 1: Значения логарифмов равны, если аргументы равны:
\(7x - 9 = x\)

Шаг 2: Решаем уравнение:
\(7x - 9 = x \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

Шаг 3: Проверка области:

• аргумент \(7x-9 > 0 \Rightarrow 7 \times \frac{3}{2} - 9 > 0\)
  \(= \frac{21}{2} - 9 = \frac{21}{2} - \frac{18}{2} = \frac{3}{2} > 0\)
• аргумент \(x > 0\) — да, \(x=\frac{3}{2}>0\)

Ответ: \(x=\frac{3}{2}\)

---

4) \(\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0\)

Шаг 1: Значение логарифма равно 0, когда аргумент = 1:
\[x^2 - 12x + 36 = 1\]

Шаг 2: Решаем уравнение:
\[x^2 - 12x + 36 = 1 \Rightarrow x^2 - 12x + 35 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
Дискриминант: \(\Delta = 144 - 140 = 4\)

Корни:
\[x = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{12 \pm 2}{2}\]

\[x_1 = \frac{12+2}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{12-2}{2} = 5\]

Шаг 4: Область определения:

• аргумент логарифма \(x^2 -12x +36 \geq 0\) — всегда положительно, так как квадратичная функция, расположенная вверх, имеет минимум в точке \(x=6\), где значение \(= 36- 12*6 +36=36-72+36=0\).
• минимальное значение в точке \(x=6\), где аргумент равен 0. Но логарифм не определен при 0, значит аргумент должен быть > 0, следовательно:
  \(x^2 -12x +36 > 0\), что исключает \(x=6\).

Но корни — 5 и 7, при этом:

• при \(x=5\): аргумент равен \(25 - 60 +36 = 1 > 0\), подходит.
• при \(x=7\): аргумент \(49 - 84 +36=1>0\), подходит.

Ответ: \(x=5\) и \(x=7\)

---

Итоговые ответы на задачу 6:

№	Корень	Ответ по списку
1	4	Г) 1
2	1	Д) 3/2
3	3/2	Д) 3/2
4	5 и 7	Б) 5; 7

---

Задача 7: Найти корни неравенств и определить соответствия

1) \(\log_5(3x+1) < 2\)

Шаг 1: Перепишем неравенство:
\(\log_5(3x+1) < 2\)

Шаг 2: Возьмем антилогарифм:
\(3x + 1 < 5^2 = 25\)

Шаг 3: Решение:
\(3x < 24 \Rightarrow x < 8\)

Шаг 4: Условие области: логарифм определен при:
\(3x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in (-\frac{1}{3}; 8)\)

Из вариантов:

• Посмотрим, есть ли такой интервал в ответах. Вариант: \((4/3; 2)\) — не подходит, так как наш ответ — широкий интервал. Вариант \((4/3; 2)\), скорее, часть возможных решений, немного не совпадает. Посмотрим далее.

---

2) \(\log_5 x > \log_5(3x-4)\)

Шаг 1: Для логарифмов с одинаковым основанием:
\(x > 3x -4\)

Шаг 2: Решим неравенство:
\(x > 3x - 4 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2\)

Шаг 3: Область: оба аргумента >0:

• \(x > 0\)
• \(3x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3}\)

Объединение:
\(x > \frac{4}{3}\) и \(x < 2\)

Ответ: \(x \in (\frac{4}{3}; 2)\)

Вариант Б) — \((- \infty; -9) \cup (9; + \infty)\) — не подходит

Вариант В): \((-1/3; 8)\) — подходит, поскольку включает в себя интервал \((4/3; 2)\).

---

3) \(\log_{1/3}(-x) > \log_{1/3}(4-2x)\)

Обратите внимание:

• основание \(1/3 < 1\), при этом логарифм убывает, и неравенство \(\log_{1/3} A > \log_{1/3} B\) эквивалентно
  \(A < B\), при условии, что \(A>0, B>0\).

Шаг 1:
\(-x > 0 \Rightarrow x < 0\)
и
\(4 - 2x > 0 \Rightarrow x < 2\)

Шаг 2: Неравенство:
\(-x < 4 - 2x\)

Шаг 3: Решение:
\(-x + 2x < 4 \Rightarrow x < 4\)

Но уже известно, что \(x<0\). Т.к. \(x<0\) — это более строгое условие, то решение:
\(x \in (-\infty; 0)\)

---

4) \(\log_{1/2}(6 - x) \geq \log_{1/2} x^2\)

Поскольку основание \(\frac{1}{2}<1\):
\(\log_{1/2} A \ge \log_{1/2} B \Rightarrow A \leq B\)

Шаг 1:
\(6 - x \leq x^2\)

Шаг 2: Решим неравенство:
\(x^2 + x -6 \ge 0\)

Шаг 3: Решение:
Дискриминант:
\(\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24=25\)

Корни:
\(\frac{-1 \pm 5}{2}\)

\[ x_1 = \frac{-1 -5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 +5}{2} = 2 \]

Шаг 4: Интервал существования:
\(x^2 + x -6 \ge 0\) — при \(x\le -3\) или \(x \ge 2\)

Область определения логарифмов:

• \(6 - x > 0 \Rightarrow x < 6\)
• \(x^2 > 0\), кроме \(x=0\), но тут важно:
  • аргумент \(x^2\) — больше нуля при \(x \neq 0\),
  • Область: \(x \neq0\)

Объединение условий:

• \(x \le -3\) или \(x \ge 2\), и \(x < 6\)

Ответ:

• \(x \le -3\) — в интервале \((- \infty; -3]\)
• \(x \ge 2\) — в интервале \([2; 6)\)

Вариант ответа: \((- \infty; 0)\) — не полностью подходит, так как мы нашли интервал \([2;6)\) и \((-\infty; -3]\).

---

Итоги — соответствия:

1. \(\log_5(3x+1) < 2\) → решение \(\approx (\frac{1}{3};8)\) — наиболее близко к варианту В) \((- \infty; 0)\) — Нет, не совпадает (лучше игнорировать, так как иначе первый интервал чуть не предоставлен).

2. \(\log_5 x > \log_5(3x-4)\) → \((\frac{4}{3}; 2)\) — В) \((-1/3;8)\)

3. \(\log_{1/3}(-x) > \log_{1/3}(4-2x)\) → \(x<0\) — Области близки к Г) \((- \infty; 0)\)

4. \(\log_{1/2}(6 - x) \geq \log_{1/2} x^2\) → \(x \le -3\) или \(x \ge 2\), в пределах \(x<6\)

Ответы подбираются по логике, и, поскольку они сложны, правильное соответствие в общем:

• 1. \((4/3; 2)\) — В
• 2. \((- \infty; -9) \cup (9; + \infty)\) — не подходит
• 3. \((-1/3; 8)\) — В
• 4. \((- \infty; 0)\) — Г

---

Если нужно короткое заключение — основные решения по логарифмам и области определения, а также подбор вариантов.

---

Если останутся вопросы или нужен точный подбор, скажите!