6) Найдите корни уравнения и установите соответствие с ответом: 1) log₀,₆(x+3)+log₀,₆(x-3)=log₀,₆(2x-1); 2) log₂₃(2x-1)-log₂₃x=0 3) log₁/₆(7x-9)=log₁/₆x; 4) log₇(x²-12x+36)=0 A) 2 Б) 5; 7 B) 4 Г) 1 Д) 3/2 7) Найдите корни неравенства и установите соответствие с ответом: 1) log₅(3x+1)<2 2) log₅x>log₅(3x-4) 3) log₁/₃(-x)>log₁/₃(4-2x) 4) log₁/₂(6-x)≥log₁/₂x² A) (4/3; 2) Б) (-∞; -9)U(9; +∞) B) (-1/3; 8) Г) (-∞; 0); Д) (0; 6)

Рассмотрим каждое задание по порядку. Объясню пошагово, чтобы было понятно, как находить корни и решать неравенства с логарифмами. --- ### Задача 6: Найти корни уравнений и установить соответствие #### 1) \(\log_{0.6}(x+3)+\log_{0.6}(x-3)=\log_{0.6}(2x-1)\) **Шаг 1:** Используем свойство логарифмов: \(\log a + \log b = \log(ab)\) Получаем: \(\log_{0.6}[(x+3)(x-3)] = \log_{0.6}(2x-1)\) **Шаг 2:** Так как основания логарифмов равны и они не равны 1, при равенстве логарифмов: \[(x+3)(x-3) = 2x - 1\] **Шаг 3:** Раскроем скобки: \[x^2 - 9 = 2x - 1\] **Шаг 4:** Перенесем все в левую часть: \[x^2 - 2x - 8 = 0\] **Шаг 5:** Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36\) Корни: \[x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}\] Получаем: \[x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\] **Шаг 6:** Проверка условий определения логарифмов: - \(\log_{0.6}(x+3)\): аргумент > 0 \(\Rightarrow x+3 >0 \Rightarrow x > -3\) - \(\log_{0.6}(x-3)\): \(x-3 >0 \Rightarrow x > 3\) Самое строгое условие: **\(x > 3\)** Общий аргумент \(2x - 1\) тоже должен быть > 0: - \(2x-1 >0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\), что уже не более строго чем \(x > 3\). Из решений: - \(x=4\) — подходит, потому что \(4 > 3\) - \(x=-2\) — не подходит, так как не удовлетворяет \(x > 3\). **Ответ:** \(x=4\) --- #### 2) \(\log_{2/3}(2x-1) - \log_{2/3} x = 0\) **Шаг 1:** Используем свойство: \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\) Получаем: \(\log_{2/3} \frac{2x-1}{x} = 0\) **Шаг 2:** Значение логарифма равно 0, если аргумент равен 1: \(\frac{2x-1}{x} = 1\) **Шаг 3:** Решим уравнение: \(\frac{2x-1}{x} = 1 \Rightarrow 2x - 1 = x \Rightarrow 2x - x = 1 \Rightarrow x=1\) **Шаг 4:** Проверим область определения: - аргумент \(2x-1 > 0 \Rightarrow 2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\) - аргумент \(x > 0\) Наше решение \(x=1\) — удовлетворяет областям. **Ответ:** \(x=1\) --- #### 3) \(\log_{1/6}(7x-9) = \log_{1/6} x\) **Шаг 1:** Значения логарифмов равны, если аргументы равны: \(7x - 9 = x\) **Шаг 2:** Решаем уравнение: \(7x - 9 = x \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) **Шаг 3:** Проверка области: - аргумент \(7x-9 > 0 \Rightarrow 7 \times \frac{3}{2} - 9 > 0\) \(= \frac{21}{2} - 9 = \frac{21}{2} - \frac{18}{2} = \frac{3}{2} > 0\) - аргумент \(x > 0\) — да, \(x=\frac{3}{2}>0\) **Ответ:** \(x=\frac{3}{2}\) --- #### 4) \(\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0\) **Шаг 1:** Значение логарифма равно 0, когда аргумент = 1: \[x^2 - 12x + 36 = 1\] **Шаг 2:** Решаем уравнение: \[x^2 - 12x + 36 = 1 \Rightarrow x^2 - 12x + 35 = 0\] **Шаг 3:** Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(\Delta = 144 - 140 = 4\) Корни: \[x = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{12 \pm 2}{2}\] \[x_1 = \frac{12+2}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{12-2}{2} = 5\] **Шаг 4:** Область определения: - аргумент логарифма \(x^2 -12x +36 \geq 0\) — всегда положительно, так как квадратичная функция, расположенная вверх, имеет минимум в точке \(x=6\), где значение \(= 36- 12*6 +36=36-72+36=0\). - минимальное значение в точке \(x=6\), где аргумент равен 0. Но логарифм не определен при 0, значит аргумент должен быть > 0, следовательно: \(x^2 -12x +36 > 0\), что исключает \(x=6\). Но корни — 5 и 7, при этом: - при \(x=5\): аргумент равен \(25 - 60 +36 = 1 > 0\), подходит. - при \(x=7\): аргумент \(49 - 84 +36=1>0\), подходит. **Ответ:** \(x=5\) и \(x=7\) --- ### Итоговые ответы на задачу 6: |№ | Корень | Ответ по списку | |---|---------|----------------| | 1 | 4 | Г) 1 | | 2 | 1 | Д) 3/2 | | 3 | 3/2 | Д) 3/2 | | 4 | 5 и 7 | Б) 5; 7 | --- ### Задача 7: Найти корни неравенств и определить соответствия #### 1) \(\log_5(3x+1) < 2\) **Шаг 1:** Перепишем неравенство: \(\log_5(3x+1) < 2\) **Шаг 2:** Возьмем антилогарифм: \(3x + 1 < 5^2 = 25\) **Шаг 3:** Решение: \(3x < 24 \Rightarrow x < 8\) **Шаг 4:** Условие области: логарифм определен при: \(3x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}\) **Ответ:** \(x \in (-\frac{1}{3}; 8)\) Из вариантов: - Посмотрим, есть ли такой интервал в ответах. Вариант: \((4/3; 2)\) — не подходит, так как наш ответ — широкий интервал. Вариант \((4/3; 2)\), скорее, часть возможных решений, немного не совпадает. Посмотрим далее. --- #### 2) \(\log_5 x > \log_5(3x-4)\) **Шаг 1:** Для логарифмов с одинаковым основанием: \(x > 3x -4\) **Шаг 2:** Решим неравенство: \(x > 3x - 4 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2\) **Шаг 3:** Область: оба аргумента >0: - \(x > 0\) - \(3x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3}\) **Объединение:** \(x > \frac{4}{3}\) и \(x < 2\) Ответ: \(x \in (\frac{4}{3}; 2)\) Вариант Б) — \((- \infty; -9) \cup (9; + \infty)\) — не подходит Вариант В): \((-1/3; 8)\) — подходит, поскольку включает в себя интервал \((4/3; 2)\). --- #### 3) \(\log_{1/3}(-x) > \log_{1/3}(4-2x)\) **Обратите внимание:** - основание \(1/3 < 1\), при этом логарифм убывает, и неравенство \(\log_{1/3} A > \log_{1/3} B\) эквивалентно \(A < B\), при условии, что \(A>0, B>0\). **Шаг 1:** \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\) и \(4 - 2x > 0 \Rightarrow x < 2\) **Шаг 2:** Неравенство: \(-x < 4 - 2x\) **Шаг 3:** Решение: \(-x + 2x < 4 \Rightarrow x < 4\) Но уже известно, что \(x<0\). Т.к. \(x<0\) — это более строгое условие, то решение: \(x \in (-\infty; 0)\) --- #### 4) \(\log_{1/2}(6 - x) \geq \log_{1/2} x^2\) Поскольку основание \(\frac{1}{2}<1\): \(\log_{1/2} A \ge \log_{1/2} B \Rightarrow A \leq B\) **Шаг 1:** \(6 - x \leq x^2\) **Шаг 2:** Решим неравенство: \(x^2 + x -6 \ge 0\) **Шаг 3:** Решение: Дискриминант: \(\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24=25\) Корни: \(\frac{-1 \pm 5}{2}\) \[ x_1 = \frac{-1 -5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 +5}{2} = 2 \] **Шаг 4:** Интервал существования: \(x^2 + x -6 \ge 0\) — при \(x\le -3\) или \(x \ge 2\) Область определения логарифмов: - \(6 - x > 0 \Rightarrow x < 6\) - \(x^2 > 0\), кроме \(x=0\), но тут важно: - аргумент \(x^2\) — больше нуля при \(x \neq 0\), - Область: \(x \neq0\) Объединение условий: - \(x \le -3\) или \(x \ge 2\), и \(x < 6\) **Ответ:** - \(x \le -3\) — в интервале \((- \infty; -3]\) - \(x \ge 2\) — в интервале \([2; 6)\) **Вариант ответа:** \((- \infty; 0)\) — не полностью подходит, так как мы нашли интервал \([2;6)\) и \((-\infty; -3]\). --- ### Итоги — соответствия: 1) \(\log_5(3x+1) < 2\) → решение \(\approx (\frac{1}{3};8)\) — наиболее близко к варианту В) \((- \infty; 0)\) — Нет, не совпадает (лучше игнорировать, так как иначе первый интервал чуть не предоставлен). 2) \(\log_5 x > \log_5(3x-4)\) → \((\frac{4}{3}; 2)\) — В) \((-1/3;8)\) 3) \(\log_{1/3}(-x) > \log_{1/3}(4-2x)\) → \(x<0\) — Области близки к Г) \((- \infty; 0)\) 4) \(\log_{1/2}(6 - x) \geq \log_{1/2} x^2\) → \(x \le -3\) или \(x \ge 2\), в пределах \(x<6\) Ответы подбираются по логике, и, поскольку они сложны, правильное соответствие в общем: - 1) \((4/3; 2)\) — В - 2) \((- \infty; -9) \cup (9; + \infty)\) — не подходит - 3) \((-1/3; 8)\) — В - 4) \((- \infty; 0)\) — Г --- Если нужно короткое заключение — основные решения по логарифмам и области определения, а также подбор вариантов. --- Если останутся вопросы или нужен точный подбор, скажите!