Построй график функции y=x∣x∣+2∣x∣−2x . Определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке…

Рассмотрим функцию:
\[ y = x|x| + 2|x| - 2x \]

и задачу:

• Построить график функции.
• Определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции.

---

Шаг 1. Анализ функции в зависимости от знака \( x \)

Поскольку есть абсолютные значения \( |x| \), рассмотрим функцию в двух случаях:

1. Когда \( x \geq 0 \):

Тогда \( |x| = x \), и функция принимает вид:

\[ y = x \cdot x + 2 \cdot x - 2x = x^2 + 2x - 2x = x^2 \]

Итак, для \( x \geq 0 \):

\[ y = x^2 \]

---

2. Когда \( x < 0 \):

Тогда \( |x| = -x \), и функция будет:

\[ y = x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x \]

Итак, для \( x < 0 \):

\[ y = -x^2 - 4x \]

---

Шаг 2. Построение графика функции

График функции:

• Для \( x \geq 0 \): парабола \( y = x^2 \), действующая справа от оси \( y \) (стоит учитывать только \( x \geq 0 \))
• Для \( x < 0 \): парабола \( y = -x^2 - 4x \), открытая вниз (фокусируется на отрицательной части).

Определим точки соединения двух ветвей функции при \( x=0 \):

\[ y(0) = 0^2 = 0 \]

Значит, график "стыкуется" в точке (0,0).

---

Шаг 3. Анализ для нахождения \( m \), когда прямая \( y = m \) касается графика в ровно двух точках

Рассмотрим варианты.

• Для \( y = m \), линии параллельны оси \( x \) (горизонтальные).

Нам нужны такие значения \( m \), что прямая \( y=m \) касается графика ровно в двух точках. Это означает, что уравнения в каждом из двух случаев имеют ровно по одному корню (пересекают соответствующую ветвь функции один раз), и сумма общих точек равна двум.

---

Шаг 4. Анализ пересечений для каждого участка

1. Для \( x \geq 0 \): \( y = x^2 \)

Уравнение пересечения:

\[ m = x^2 \] \[ \Rightarrow x = \pm \sqrt{m} \]

• если \( m < 0 \), решений нет;
• если \( m \geq 0 \), решений:
  • при \( m > 0 \): два решений (\( x = \pm \sqrt{m} \))
  • при \( m=0 \): одно решение (\( x=0 \))

Тогда для \( m>0 \), прямая пересекает ветвь \( y = x^2 \) в двух точках: \( x=-\sqrt{m} \), \( x=\sqrt{m} \).

Однако, только для \( x \geq 0 \), если \( x=-\sqrt{m}<0 \), то эта точка не входит в область этой ветви.
Следовательно, в случае \( m>0 \), ветвь \( y=x^2 \) пересекается с линией \( y=m \) в точке \( x=\sqrt{m} \) (только правый корень).

• Ветка \( y=x^2 \) в области \( x \ge 0 \) даёт ровно одну точку, при \( x=\sqrt{m} \).
• В ветке \( y=-x^2-4x \) — две возможных точки или одна, в зависимости от \( m \).

Обратимся к второй ветке.

2. Для \( x < 0 \): \( y = -x^2 - 4x \)

При пересечении с линией \( y=m \):

\[ m = -x^2 - 4x \] \[ x^2 + 4x + m = 0 \]

Рассмотрим дискриминант:

\[ D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \]

• Если \( D > 0 \), два решения:
  \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4m}}{2} \]
• Если \( D=0 \), одно решение (касание).
• Если \( D<0 \), решений нет.

Требуются ровно два общих пересечения линии \( y=m \) с графиком. Значит, суммарно должно быть ровно два решения:

• чтобы получились ровно 2 точки, нужно, чтобы одно решение было для ветки \( y=x^2 \), и другое — для ветки \( y=-x^2-4x \), причём оба располагались в соответствующих областях (учитывая, что \( x<0 \) для второй ветки и \( x \ge 0 \) — для первой).

Шаг 5. Определение значений \( m \)

Случай 1: линия \( y=m \) касается ветки \( y=x^2 \) в одной точке \( x=\sqrt{m} \), которая должна быть в области \( x \ge 0 \) (то есть \( \sqrt{m} \ge 0 \)).

• если \( m>0 \), то пересечение в точке \( x=\sqrt{m} \), так что одна точка на правой ветке.

Случай 2: линия \( y=m \) касается ветки \( y=-x^2-4x \).

• для этого нужно, чтобы дискриминант \(\ D=16-4m \ge 0 \),
• и также чтобы решение \( x \) было в области \( x<0 \).

---

Шаг 6. Рассмотрим пример значения \( m \)

Пусть \( m>0 \):

• Левая ветка (\( y=-x^2-4x \)) — дискриминант \( D=16-4m \).

• Чтобы было ровно 1 решение с этой ветки, должно выполниться \( D=0 \):

\[ 16-4m=0 \Rightarrow m=4 \]

В этом случае, уравнение для ветки \( y=-x^2-4x \):

\[ x^2+4x+4=0 \] \[ (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2 \]

Это одна точка.

• \( x=-2<0 \): допустимо, ветка для \( x<0 \).
• В точке \( x=-2 \), \( y = m=4 \).

Теперь, для \( y=x^2 \), пересечение при \( y=4 \):

\[ x^2=4 \] \[ x= \pm 2 \]

• \( x=2 \) — входит в область \( x \ge 0 \);
• \( x=-2 \) — в область \( x<0 \).

Две точки пересечения:

• с веткой \( y=x^2 \), в точке \( x=2 \) (при \( x \ge 0 \)),
• с веткой \( y=-x^2-4x \), в точке \( x=-2 \).

Всего получается 2 точки для \( y=4 \).

---

Ответ:

Значение \( m=4 \) дает ровно две точки пересечения.

---

Итог:

Для уравнения:
\[ \boxed{4} \]

---

Общий ответ — значения \( m \), при которых прямые \( y=m \) имеют ровно две точки пересечения с графиком, — это \( \boxed{4} \).