Построй график функции  y=x∣x∣+2∣x∣−2x. Определи, при каких значениях  m прямая  y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений  m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим функцию: \[ y = x|x| + 2|x| - 2x \] и задачу: - Построить график функции. - Определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции. --- ### Шаг 1. Анализ функции в зависимости от знака \( x \) Поскольку есть абсолютные значения \( |x| \), рассмотрим функцию в двух случаях: #### 1. Когда \( x \geq 0 \): Тогда \( |x| = x \), и функция принимает вид: \[ y = x \cdot x + 2 \cdot x - 2x = x^2 + 2x - 2x = x^2 \] **Итак, для \( x \geq 0 \):** \[ y = x^2 \] --- #### 2. Когда \( x < 0 \): Тогда \( |x| = -x \), и функция будет: \[ y = x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x \] **Итак, для \( x < 0 \):** \[ y = -x^2 - 4x \] --- ### Шаг 2. Построение графика функции График функции: - Для \( x \geq 0 \): парабола \( y = x^2 \), действующая справа от оси \( y \) (стоит учитывать только \( x \geq 0 \)) - Для \( x < 0 \): парабола \( y = -x^2 - 4x \), открытая вниз (фокусируется на отрицательной части). Определим точки соединения двух ветвей функции при \( x=0 \): \[ y(0) = 0^2 = 0 \] Значит, график "стыкуется" в точке (0,0). --- ### Шаг 3. Анализ для нахождения \( m \), когда прямая \( y = m \) касается графика в ровно двух точках Рассмотрим варианты. - Для \( y = m \), линии параллельны оси \( x \) (горизонтальные). Нам нужны такие значения \( m \), что прямая \( y=m \) касается графика ровно в двух точках. Это означает, что уравнения в каждом из двух случаев имеют ровно по одному корню (пересекают соответствующую ветвь функции один раз), и сумма общих точек равна двум. --- ### Шаг 4. Анализ пересечений для каждого участка #### 1. Для \( x \geq 0 \): \( y = x^2 \) Уравнение пересечения: \[ m = x^2 \] \[ \Rightarrow x = \pm \sqrt{m} \] - если \( m < 0 \), решений нет; - если \( m \geq 0 \), решений: - при \( m > 0 \): два решений (\( x = \pm \sqrt{m} \)) - при \( m=0 \): одно решение (\( x=0 \)) Тогда для \( m>0 \), прямая пересекает ветвь \( y = x^2 \) в двух точках: \( x=-\sqrt{m} \), \( x=\sqrt{m} \). Однако, только для \( x \geq 0 \), если \( x=-\sqrt{m}<0 \), то эта точка не входит в область этой ветви. Следовательно, в случае \( m>0 \), ветвь \( y=x^2 \) пересекается с линией \( y=m \) в точке \( x=\sqrt{m} \) (только правый корень). - Ветка \( y=x^2 \) в области \( x \ge 0 \) даёт ровно одну точку, при \( x=\sqrt{m} \). - В ветке \( y=-x^2-4x \) — две возможных точки или одна, в зависимости от \( m \). Обратимся к второй ветке. #### 2. Для \( x < 0 \): \( y = -x^2 - 4x \) При пересечении с линией \( y=m \): \[ m = -x^2 - 4x \] \[ x^2 + 4x + m = 0 \] Рассмотрим дискриминант: \[ D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \] - Если \( D > 0 \), два решения: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4m}}{2} \] - Если \( D=0 \), одно решение (касание). - Если \( D<0 \), решений нет. Требуются ровно два общих пересечения линии \( y=m \) с графиком. Значит, суммарно должно быть ровно два решения: - чтобы получились ровно 2 точки, нужно, чтобы одно решение было для ветки \( y=x^2 \), и другое — для ветки \( y=-x^2-4x \), причём оба располагались в соответствующих областях (учитывая, что \( x<0 \) для второй ветки и \( x \ge 0 \) — для первой). ### Шаг 5. Определение значений \( m \) **Случай 1:** линия \( y=m \) касается ветки \( y=x^2 \) в одной точке \( x=\sqrt{m} \), которая должна быть в области \( x \ge 0 \) (то есть \( \sqrt{m} \ge 0 \)). - если \( m>0 \), то пересечение в точке \( x=\sqrt{m} \), так что одна точка на правой ветке. **Случай 2:** линия \( y=m \) касается ветки \( y=-x^2-4x \). - для этого нужно, чтобы дискриминант \(\ D=16-4m \ge 0 \), - и также чтобы решение \( x \) было в области \( x<0 \). --- ### Шаг 6. Рассмотрим пример значения \( m \) Пусть \( m>0 \): - Левая ветка (\( y=-x^2-4x \)) — дискриминант \( D=16-4m \). - Чтобы было ровно 1 решение с этой ветки, должно выполниться \( D=0 \): \[ 16-4m=0 \Rightarrow m=4 \] В этом случае, уравнение для ветки \( y=-x^2-4x \): \[ x^2+4x+4=0 \] \[ (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2 \] Это одна точка. - \( x=-2<0 \): допустимо, ветка для \( x<0 \). - В точке \( x=-2 \), \( y = m=4 \). Теперь, для \( y=x^2 \), пересечение при \( y=4 \): \[ x^2=4 \] \[ x= \pm 2 \] - \( x=2 \) — входит в область \( x \ge 0 \); - \( x=-2 \) — в область \( x<0 \). Две точки пересечения: - с веткой \( y=x^2 \), в точке \( x=2 \) (при \( x \ge 0 \)), - с веткой \( y=-x^2-4x \), в точке \( x=-2 \). Всего получается 2 точки для \( y=4 \). --- ### **Ответ:** Значение \( m=4 \) дает ровно две точки пересечения. --- ### Итог: **Для уравнения:** \[ \boxed{4} \] --- **Общий ответ — значения \( m \), при которых прямые \( y=m \) имеют ровно две точки пересечения с графиком, — это \( \boxed{4} \).**