Построй график функции 2х2+6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток,…
Построй график функции 2х2+6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)
Давайте разберёмся с поставленной задачей поэтапно.
Задача содержит функцию, заданную в виде:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
Нам нужно построить график этой функции и определить, при каких значениях \( y = m \) график функции имеет ровно две общие точки с линией \( y = m \).
Шаг 1. Построение графика функции
1. Для \( x \geq -2 \): это парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).
Найдём вершину параболы:
Координаты вершины:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \]
Проверим значение функции в вершине:
\[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \times 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]
Парабола направлена вверх (коэффициент при \( x^2 \) — положительный).
Точка вершины: \((-1.5, -1.5)\).
Для \( x \geq -2 \), график идет от точки \( x = -2 \):
\[ y(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]
В точке \( x = -2 \), значение \( y = -1 \). Это точка соединения с другой частью функции.
2. Для \( x < -2 \): это линейная функция \( y = x + 2 \).
При \( x \to -2^- \):
\[ y = -2 + 2 = 0 \]
График — это кривая, идущая слева от \( x = -2 \), а при \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).
Шаг 2. Построение графика
График функции:
- Левая часть — прямая \( y = x + 2 \) для \( x < -2 \).
- В точке \( x = -2 \), \( y = 0 \).
- Справа — парабола \( y= 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \), с вершиной \(-1.5, -1.5\).
Обратите внимание, что в точке \( x = -2 \), значения не совпадают:
- Линия в \( x=-2 \): \( y=0 \).
- Парабола в \( x=-2 \): \( y=-1 \).
Это означает, что функция в точке непрерывна, но не дифференцируема там (острая граница).
Шаг 3. Определение условий для пересечения с линией \( y = m \)
Нам нужно найти значения \( m \), при которых линия \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Рассмотрим отдельно для двух частей:
1. Для \( y = m \geq -1 \):
- Точка пересечения с линейной частью:
\[ x + 2 = m \implies x = m - 2, \quad \text{при } x< -2 \]
- Точка пересечения с параболой:
\[ 2x^2 + 6x + 3 = m, \quad \text{при } x \geq -2 \]
Шаг 4. Анализ пересечений
(A) Линейная часть \( y = x + 2 \):
Пересечения в точках \( x = m - 2 \).
Для этого пересечения чтобы было действительно, нужно, чтобы \( x < -2 \):
\[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \]
- Значит, линия \( y=m \) пересекает линейную часть только если \( m<0 \). Тогда есть одно пересечение в \( x = m - 2 \).
(B) Парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \):
- Вырожденное уравнение:
\[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]
- Количество решений зависит от дискриминанта:
\[ D = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \]
- Для того, чтобы линия пересекала параболу в ровно 0, 1 или 2 точках, нужно рассмотреть дискриминант:
| D | Количество решений |
|---|---|
| D < 0 | 0 решений (прямое не пересекает параболу) |
| D = 0 | 1 решение (касание) |
| D > 0 | 2 решения |
Шаг 5. Cases based on \( D \):
\[ D = 12 + 8m \]
Парабола и линия пересекаются в 2 точках, при условии \( D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{12}{8} = -1.5 \).
Парабола и линия касаются, если \( D=0 \):
\[ 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -1.5 \]
- Отрицательные дискриминанты, \( D<0 \):
\[ m < -1.5 \]
Шаг 6. Итоговое условие для ровно двух пересечений
Общая картина:
Линия \( y=m \) пересекает линейную часть при \( m<0 \), даёт одно пересечение.
С параболой:
- Для \( m > -1.5 \): 2 пересечения.
- Для \( m = -1.5 \): касание, т.е. 1 пересечение.
- Для \( m < -1.5 \): 0 пересечений.
Проверка случаев для ровно двух точек:
1. Когда есть два пересечения:
Одно — с линейной частью (при \( m<0 \) и \( m \neq -1.5 \)), другое — с параболой (при \( m > -1.5 \), и, в частности, если \( m<0 \)).
Значит, чтобы было ровно две точки пересечения:
- Линия должна пересечься с линейной частью (да, при \( m<0 \)), и одновременно — с параболой (при \( m > -1.5 \)).
Следовательно, для \( m<0 \) и \( m > -1.5 \):
\[ -1.5 < m < 0 \]
В этом диапазоне:
- Линия пересекается лишь с линейной частью \( x = m - 2 \),
- А с параболой — по двум точкам, поскольку дискриминант положителен.
Итог: для \( m \in (-1.5, 0) \), график пересечёт линию в ровно две точки.
Ответ:
Поскольку в вопросе нужно указать число и промежуток без пробелов, и пример оформления:
число: число пересечений — 2
промежуток: \( (-1.5;0) \)
Объединяя, получаем:
\[ \boxed{2(-1.5;0)} \]
Если нужно, я могу оформить ответ в цифрах и знаках точнее, учитывая формат. В этом случае:
Ответ:
2(-1.5;0)
или, запишем в виде запятой, не соединяя:
Финальный ответ: 2(-1.5;0)
Если потребуется, могу помочь с более точной формализацией.
