Построй график функции  2х2+6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях  y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)

Давайте разберёмся с поставленной задачей поэтапно. Задача содержит функцию, заданную в виде: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] Нам нужно построить график этой функции и определить, при каких значениях \( y = m \) график функции имеет ровно две общие точки с линией \( y = m \). --- ### Шаг 1. Построение графика функции **1. Для \( x \geq -2 \):** это парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \). - Найдём вершину параболы: Координаты вершины: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \] Проверим значение функции в вершине: \[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \times 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \] - Парабола направлена вверх (коэффициент при \( x^2 \) — положительный). - Точка вершины: \((-1.5, -1.5)\). - Для \( x \geq -2 \), график идет от точки \( x = -2 \): \[ y(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] - В точке \( x = -2 \), значение \( y = -1 \). Это точка соединения с другой частью функции. --- **2. Для \( x < -2 \):** это линейная функция \( y = x + 2 \). - При \( x \to -2^- \): \[ y = -2 + 2 = 0 \] - График — это кривая, идущая слева от \( x = -2 \), а при \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). --- ### Шаг 2. Построение графика График функции: - Левая часть — прямая \( y = x + 2 \) для \( x < -2 \). - В точке \( x = -2 \), \( y = 0 \). - Справа — парабола \( y= 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \), с вершиной \(-1.5, -1.5\). Обратите внимание, что в точке \( x = -2 \), значения не совпадают: - Линия в \( x=-2 \): \( y=0 \). - Парабола в \( x=-2 \): \( y=-1 \). Это означает, что функция в точке непрерывна, но не дифференцируема там (острая граница). --- ### Шаг 3. Определение условий для пересечения с линией \( y = m \) Нам нужно найти значения \( m \), при которых линия \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках. Рассмотрим отдельно для двух частей: **1. Для \( y = m \geq -1 \):** - Точка пересечения с линейной частью: \[ x + 2 = m \implies x = m - 2, \quad \text{при } x< -2 \] - Точка пересечения с параболой: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m, \quad \text{при } x \geq -2 \] --- ### Шаг 4. Анализ пересечений **(A) Линейная часть \( y = x + 2 \):** - Пересечения в точках \( x = m - 2 \). - Для этого пересечения чтобы было действительно, нужно, чтобы \( x < -2 \): \[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \] - Значит, линия \( y=m \) пересекает линейную часть только если \( m<0 \). Тогда есть одно пересечение в \( x = m - 2 \). --- **(B) Парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \):** - Вырожденное уравнение: \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] - Количество решений зависит от дискриминанта: \[ D = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \] - Для того, чтобы линия пересекала параболу в **ровно 0, 1 или 2 точках**, нужно рассмотреть дискриминант: | D | Количество решений | |---|-------------------| | D < 0 | 0 решений (прямое не пересекает параболу) | | D = 0 | 1 решение (касание) | | D > 0 | 2 решения | --- ### Шаг 5. Cases based on \( D \): \[ D = 12 + 8m \] - **Парабола и линия пересекаются в 2 точках**, при условии \( D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{12}{8} = -1.5 \). - **Парабола и линия касаются**, если \( D=0 \): \[ 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -1.5 \] - **Отрицательные дискриминанты**, \( D<0 \): \[ m < -1.5 \] --- ### Шаг 6. Итоговое условие для ровно двух пересечений Общая картина: - Линия \( y=m \) пересекает линейную часть при \( m<0 \), даёт **одно** пересечение. - С параболой: - Для \( m > -1.5 \): 2 пересечения. - Для \( m = -1.5 \): касание, т.е. 1 пересечение. - Для \( m < -1.5 \): 0 пересечений. --- ### **Проверка случаев для ровно двух точек:** #### 1. Когда есть два пересечения: - Одно — с линейной частью (при \( m<0 \) и \( m \neq -1.5 \)), другое — с параболой (при \( m > -1.5 \), и, в частности, если \( m<0 \)). - Значит, чтобы было ровно две точки пересечения: - Линия должна пересечься с линейной частью (да, при \( m<0 \)), и одновременно — с параболой (при \( m > -1.5 \)). - Следовательно, для \( m<0 \) и \( m > -1.5 \): \[ -1.5 < m < 0 \] - В этом диапазоне: - Линия пересекается лишь с линейной частью \( x = m - 2 \), - А с параболой — по двум точкам, поскольку дискриминант положителен. - Итог: для \( m \in (-1.5, 0) \), график пересечёт линию в **ровно две точки**. --- ### **Ответ:** Поскольку в вопросе нужно указать число и промежуток без пробелов, и пример оформления: **число:** число пересечений — **2** **промежуток:** \( (-1.5;0) \) Объединяя, получаем: \[ \boxed{2(-1.5;0)} \] --- Если нужно, я могу оформить ответ в цифрах и знаках точнее, учитывая формат. В этом случае: **Ответ:** **2(-1.5;0)** или, запишем в виде запятой, не соединяя: --- **Финальный ответ:** **2(-1.5;0)** --- Если потребуется, могу помочь с более точной формализацией.