Решить

Давайте по шагам решим задачу: Задача: Вычислить значение выражения \[ \sqrt{99} \cdot \sqrt{54} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{3} \] **Шаг 1: Используем свойство произведения корней** Согласно свойству корней: \[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \] Поэтому можно объединить все корни в один: \[ \sqrt{99 \cdot 54 \cdot 22 \cdot 3} \] **Шаг 2: Переведем выражение под корень** Посчитаем произведение внутри корня: \[ 99 \times 54 \times 22 \times 3 \] Посчитаем шаг за шагом. **Шаг 3: Вспомогательные разложения** Разобьем числа на простые множители для упрощения. - \(99 = 9 \times 11 = 3^2 \times 11\) - \(54 = 6 \times 9 = 2 \times 3 \times 3^2 = 2 \times 3^3\) - \(22 = 2 \times 11\) - \(3\) — простое число. **Шаг 4: Запишем произведение в виде произведения простых множителей** \[ (3^2 \times 11) \times (2 \times 3^3) \times (2 \times 11) \times 3 \] Теперь объединяем: \[ 3^2 \times 11 \times 2 \times 3^3 \times 2 \times 11 \times 3 \] Переносим одинаковые множители рядом: \[ 3^{2 + 3 + 1} \times 11^{1 + 1} \times 2^{1 + 1} \] Потому что: - Для 3: \(2 + 3 + 1 = 6\) - Для 11: \(1 + 1 = 2\) - Для 2: \(1 + 1 = 2\) Итого: \[ 3^{6} \times 11^{2} \times 2^{2} \] **Шаг 5: Возьмем корень из произведения** Теперь выражение под корнем: \[ \sqrt{3^{6} \times 11^{2} \times 2^{2}} \] Используя свойство корня, можем вынести из-под корня степени: \[ = \sqrt{3^{6}} \times \sqrt{11^{2}} \times \sqrt{2^{2}} \] \[ = 3^{6/2} \times 11^{2/2} \times 2^{2/2} = 3^{3} \times 11^{1} \times 2^{1} \] Теперь посчитаем итог: \[ 3^{3} \times 11 \times 2 \] \[ = (3^3) \times 11 \times 2 = 27 \times 11 \times 2 \] Посчитаем постепенно: \[ 27 \times 11 = 297 \] И затем: \[ 297 \times 2 = 594 \] **Ответ:** \[ \boxed{594} \] Значит, значение выражения равно **594**.