Решить
Давайте по шагам решим задачу:
Задача:
Вычислить значение выражения
\[
\sqrt{99} \cdot \sqrt{54} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{3}
\]
Шаг 1: Используем свойство произведения корней
Согласно свойству корней:
\[
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}
\]
Поэтому можно объединить все корни в один:
\[
\sqrt{99 \cdot 54 \cdot 22 \cdot 3}
\]
Шаг 2: Переведем выражение под корень
Посчитаем произведение внутри корня:
\[
99 \times 54 \times 22 \times 3
\]
Посчитаем шаг за шагом.
Шаг 3: Вспомогательные разложения
Разобьем числа на простые множители для упрощения.
- \(99 = 9 \times 11 = 3^2 \times 11\)
- \(54 = 6 \times 9 = 2 \times 3 \times 3^2 = 2 \times 3^3\)
- \(22 = 2 \times 11\)
- \(3\) — простое число.
Шаг 4: Запишем произведение в виде произведения простых множителей
\[ (3^2 \times 11) \times (2 \times 3^3) \times (2 \times 11) \times 3 \]
Теперь объединяем:
\[ 3^2 \times 11 \times 2 \times 3^3 \times 2 \times 11 \times 3 \]
Переносим одинаковые множители рядом:
\[ 3^{2 + 3 + 1} \times 11^{1 + 1} \times 2^{1 + 1} \]
Потому что:
- Для 3: \(2 + 3 + 1 = 6\)
- Для 11: \(1 + 1 = 2\)
- Для 2: \(1 + 1 = 2\)
Итого:
\[ 3^{6} \times 11^{2} \times 2^{2} \]
Шаг 5: Возьмем корень из произведения
Теперь выражение под корнем:
\[
\sqrt{3^{6} \times 11^{2} \times 2^{2}}
\]
Используя свойство корня, можем вынести из-под корня степени:
\[ = \sqrt{3^{6}} \times \sqrt{11^{2}} \times \sqrt{2^{2}} \]
\[ = 3^{6/2} \times 11^{2/2} \times 2^{2/2} = 3^{3} \times 11^{1} \times 2^{1} \]
Теперь посчитаем итог:
\[ 3^{3} \times 11 \times 2 \]
\[ = (3^3) \times 11 \times 2 = 27 \times 11 \times 2 \]
Посчитаем постепенно:
\[ 27 \times 11 = 297 \]
И затем:
\[ 297 \times 2 = 594 \]
Ответ:
\[ \boxed{594} \]
Значит, значение выражения равно 594.
