Реши с фото

Давайте подробно решим задачу.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \) известно:
  • \( AB = 9 \)
  • \( BC = 16 \)
  • \( \sin \angle ABC = \frac{7}{12} \)

Требуется найти площадь треугольника \( ABC \).

Шаг 1: Построение известных данных

Обозначим:

• точку \( A \) — вершина, противоположная стороне \( BC \)
• сторону \( AB = 9 \)
• сторону \( BC = 16 \)
• угол \( \angle ABC \) — угол при вершине \( B \)

Шаг 2: Найти сторону \( AC \)

Для начала посмотрим на сторону \( AC \). Обычно в таком случае, чтобы найти площадь, нужно использовать формулу через две стороны и синус включенного угла:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2}ab \sin C \]

Но у нас есть угол \( \angle ABC \), и нам нужно понять, как его связать с искомой площадью.

Шаг 3: Находим высоту из вершины \( B \)

Площадь треугольника можно найти через две стороны и угол между ними, например:

\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin \angle ABC \]

Поскольку у нас есть:

• \( AB = 9 \),
• \( BC = 16 \),
• \( \sin \angle ABC = \frac{7}{12} \),

подставим эти значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 16 \times \frac{7}{12} \]

Шаг 4: Вычисление площади

Посчитаем числитель и знаменатель:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 16 \times \frac{7}{12} \]

Облегчим вычисление:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 16 \times \frac{7}{12} \]

Первоочередное сокращение:

• \( 16 \times \frac{7}{12} = \frac{16 \times 7}{12} = \frac{112}{12} = \frac{28}{3} \)

Тогда:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{28}{3} \]

Далее:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{28}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{9 \times 28}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{252}{3} \]

Значит:

\[ S = \frac{1}{2} \times 84 = 42 \]

Ответ:

Площадь треугольника \( ABC \) равна \(\boxed{42}\).