Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Время отправления из пункта A — 12:00.
- Время возвращения в пункт C — 19:00.
- Расстояние по течению (от A до B) — 80 км.
- Расстояние обратно (от B до C) — 99 км.
- Скорость течения реки — 5 км/ч.
Нам нужно найти собственную скорость катера — обозначим её как v км/ч.
Шаг 1. Определение времени путешествия
Общее время похода:
[ 19:00 - 12:00 = 7 \text{ часов} ]
Это время с момента отправления до прибытия в пункт C.
Шаг 2. Вычисление времени на каждую часть пути
Обозначим:
- Время прохождения от A до B (по течению) — ( t_1 ).
- Время прохождения от B до C (против течения) — ( t_2 ).
Общее время:
[ t_1 + t_2 = 7 \text{ часов} ] (Уравнение 1).
Шаг 3. Выражение скоростей по течению и против течения
- Скорость катера по течению: ( v + 5 ) км/ч.
- Скорость катера против течения: ( v - 5 ) км/ч.
Составим выражения для времени:
[
t_1 = \frac{\text{расстояние по течению}}{\text{скорость по течению}} = \frac{80}{v+5}
]
[
t_2 = \frac{\text{расстояние против течения}}{\text{скорость против течения}} = \frac{99}{v-5}
]
По условию:
[
t_1 + t_2 = 7
]
Подставим:
[
\frac{80}{v+5} + \frac{99}{v-5} = 7
]
Шаг 4. Решение уравнения
Домножим обе части уравнения на произведение знаменателей ((v+5)(v-5)):
[
80(v-5) + 99(v+5) = 7 (v+5)(v-5)
]
Раскроем скобки:
[
80v - 400 + 99v + 495 = 7 (v^2 - 25)
]
Объединим подобные:
[
(80v + 99v) + (-400 + 495) = 7v^2 - 175
]
[
179v + 95 = 7v^2 - 175
]
Перенесем все в одну сторону:
[
7v^2 - 179v - 270 = 0
]
Шаг 5. Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
[
7v^2 - 179v - 270 = 0
]
Используем формулу решения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a=7), (b=-179), (c=-270).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-179)^2 - 4 \times 7 \times (-270) = 31921 + 7560 = 39481
]
Найдем корень:
[
\sqrt{39481} \approx 198.7
]
Подставим:
[
v = \frac{179 \pm 198.7}{2 \times 7} = \frac{179 \pm 198.7}{14}
]
Два возможных варианта:
- ( v_1 = \frac{179 + 198.7}{14} = \frac{377.7}{14} \approx 26.98 )
- ( v_2 = \frac{179 - 198.7}{14} = \frac{-19.7}{14} \approx -1.41 )
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
\boxed{v \approx 27 \text{ км/ч}}
]
Ответ:
Собственная скорость катера примерно равна 27 км/ч.
