Катер отправился в путь из пункта A в 12:00 и по течению реки до пункта B прошёл 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё 99 км и завершил путешествие в пункте C в 19:00 . Найди…

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.

Дано:

• Время отправления из пункта A — 12:00.
• Время возвращения в пункт C — 19:00.
• Расстояние по течению (от A до B) — 80 км.
• Расстояние обратно (от B до C) — 99 км.
• Скорость течения реки — 5 км/ч.

Нам нужно найти собственную скорость катера — обозначим её как v км/ч.

---

Шаг 1. Определение времени путешествия

Общее время похода: \[ 19:00 - 12:00 = 7 \text{ часов} \]

Это время с момента отправления до прибытия в пункт C.

---

Шаг 2. Вычисление времени на каждую часть пути

Обозначим:

• Время прохождения от A до B (по течению) — \( t_1 \).
• Время прохождения от B до C (против течения) — \( t_2 \).

Общее время: \[ t_1 + t_2 = 7 \text{ часов} \] (Уравнение 1).

---

Шаг 3. Выражение скоростей по течению и против течения

• Скорость катера по течению: \( v + 5 \) км/ч.
• Скорость катера против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Составим выражения для времени:

\[ t_1 = \frac{\text{расстояние по течению}}{\text{скорость по течению}} = \frac{80}{v+5} \] \[ t_2 = \frac{\text{расстояние против течения}}{\text{скорость против течения}} = \frac{99}{v-5} \]

По условию: \[ t_1 + t_2 = 7 \]

Подставим: \[ \frac{80}{v+5} + \frac{99}{v-5} = 7 \]

---

Шаг 4. Решение уравнения

Домножим обе части уравнения на произведение знаменателей \((v+5)(v-5)\):

\[ 80(v-5) + 99(v+5) = 7 (v+5)(v-5) \]

Раскроем скобки: \[ 80v - 400 + 99v + 495 = 7 (v^2 - 25) \]

Объединим подобные: \[ (80v + 99v) + (-400 + 495) = 7v^2 - 175 \]

\[ 179v + 95 = 7v^2 - 175 \]

Перенесем все в одну сторону: \[ 7v^2 - 179v - 270 = 0 \]

---

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение: \[ 7v^2 - 179v - 270 = 0 \]

Используем формулу решения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a=7\), \(b=-179\), \(c=-270\).

Вычислим дискриминант: \[ D = (-179)^2 - 4 \times 7 \times (-270) = 31921 + 7560 = 39481 \]

Найдем корень: \[ \sqrt{39481} \approx 198.7 \]

Подставим: \[ v = \frac{179 \pm 198.7}{2 \times 7} = \frac{179 \pm 198.7}{14} \]

Два возможных варианта:

1. \( v_1 = \frac{179 + 198.7}{14} = \frac{377.7}{14} \approx 26.98 \)
2. \( v_2 = \frac{179 - 198.7}{14} = \frac{-19.7}{14} \approx -1.41 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:

\[ \boxed{v \approx 27 \text{ км/ч}} \]

---

Ответ:

Собственная скорость катера примерно равна 27 км/ч.