Сумма двух чисел равна 7, а их произведение равно -60. Найдите эти числа.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Даны два числа:
- Их сумма равна 7: \( x + y = 7 \)
- Их произведение равно -60: \( xy = -60 \)
Нужно найти эти числа.
Шаг 1: Запишем известные уравнения
\[ x + y = 7 \quad \text{(1)} \] \[ xy = -60 \quad \text{(2)} \]
Шаг 2: Используем квадрат суммы
Из уравнения (1) выразим одну переменную через другую или применим стандартную формулу для уравнений с двумя переменными.
Чтобы найти \(x\) и \(y\), удобно использовать уравнение квадрата суммы:
\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 7^2 = x^2 + 2 \cdot (-60) + y^2 \]
или более аккуратно, чтобы не было ошибок, выразим \(x^2 + y^2\):
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \]
Подставим значения из уравнений (1) и (2):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 - 2 \cdot (-60) = 49 + 120 = 169 \]
Шаг 3: Используем уравнение квадрата
Теперь у нас есть:
\[ x + y = 7 \] \[ x^2 + y^2 = 169 \]
Для поиска \(x\) и \(y\) можно найти их разность или решить систему уравнений.
Шаг 4: Решим через квадратичное уравнение
Рассмотрим уравнение для \(x\). Зная сумму и произведение, можно представить их как корни квадратичного уравнения:
\[ t^2 - (x + y)t + xy = 0 \]
Подставим известные значения:
\[ t^2 - 7t - 60 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ t^2 - 7t - 60 = 0 \]
Используем формулу решений квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -60\).
Подставляем:
\[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{289} = 17 \]
Теперь найдем значения \(t\):
\[ t = \frac{7 \pm 17}{2} \]
Первый корень:
\[ t = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]
Второй корень:
\[ t = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Ответ:
Значит, два числа — это 12 и -5, поскольку их сумма:
\[ 12 + (-5) = 7 \]
и их произведение:
\[ 12 \times (-5) = -60 \]
Итог:
Два числа: 12 и -5.
