Сумма двух чисел равна 7, а их произведение равно -60. Найдите эти числа.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Задача:** Даны два числа: - Их сумма равна 7: \( x + y = 7 \) - Их произведение равно -60: \( xy = -60 \) Нужно найти эти числа. --- ### Шаг 1: Запишем известные уравнения \[ x + y = 7 \quad \text{(1)} \] \[ xy = -60 \quad \text{(2)} \] --- ### Шаг 2: Используем квадрат суммы Из уравнения (1) выразим одну переменную через другую или применим стандартную формулу для уравнений с двумя переменными. Чтобы найти \(x\) и \(y\), удобно использовать уравнение квадрата суммы: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] Подставим известные значения: \[ 7^2 = x^2 + 2 \cdot (-60) + y^2 \] или более аккуратно, чтобы не было ошибок, выразим \(x^2 + y^2\): \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \] Подставим значения из уравнений (1) и (2): \[ x^2 + y^2 = 7^2 - 2 \cdot (-60) = 49 + 120 = 169 \] --- ### Шаг 3: Используем уравнение квадрата Теперь у нас есть: \[ x + y = 7 \] \[ x^2 + y^2 = 169 \] Для поиска \(x\) и \(y\) можно найти их разность или решить систему уравнений. --- ### Шаг 4: Решим через квадратичное уравнение Рассмотрим уравнение для \(x\). Зная сумму и произведение, можно представить их как корни квадратичного уравнения: \[ t^2 - (x + y)t + xy = 0 \] Подставим известные значения: \[ t^2 - 7t - 60 = 0 \] Решим это уравнение: \[ t^2 - 7t - 60 = 0 \] Используем формулу решений квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -60\). Подставляем: \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{289} = 17 \] Теперь найдем значения \(t\): \[ t = \frac{7 \pm 17}{2} \] **Первый корень:** \[ t = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] **Второй корень:** \[ t = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] --- ### **Ответ:** Значит, два числа — это **12** и **-5**, поскольку их сумма: \[ 12 + (-5) = 7 \] и их произведение: \[ 12 \times (-5) = -60 \] --- ## Итог: **Два числа: 12 и -5.**