Симметричный игральный кубик бросают два раза. Сумма выпавших очков оказалась не меньше чем 5, но не больше чем 8. Какова при этом условии вероятность того, что во второй раз выпало столько же очков, сколько в первый? Ответ:

Рассмотрим задачу поэтапно. **Шаг 1: Определим пространство возможных исходов при двух бросках кубика** - Каждый бросок — это одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Всего возможных исходов для двух бросков: \(6 \times 6 = 36\). **Шаг 2: Найдём все исходы, при которых сумма очков от 5 до 8 включительно** Для этого найдём все пары \((x, y)\), где \(x\) — результат первого броска, \(y\) — второго, и выполнено условие: \[5 \leq x + y \leq 8.\] Переберём все пары и выберем подходящие: - Для \(x=1\): \(x + y \geq 5 \Rightarrow y \geq 4\); \(x + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 7\) (но \(y \leq 6\) в пределах кубика). Значит, подходящие \(y = 4, 5, 6\). - Для \(x=2\): \(2 + y \geq 5 \Rightarrow y \geq 3\); \(2 + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 6\). Подходящие \(y=3, 4, 5, 6\). - Для \(x=3\): \(3 + y \geq 5 \Rightarrow y \geq 2\); \(3 + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 5\). Подходящие \(y=2, 3, 4, 5\). - Для \(x=4\): \(4 + y \geq 5 \Rightarrow y \geq 1\); \(4 + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 4\). Подходящие \(y=1, 2, 3, 4\). - Для \(x=5\): \(5 + y \geq 5 \Rightarrow y \geq 0\); \(5 + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 3\). Подходящие \(y=1, 2, 3\). - Для \(x=6\): \(6 + y \geq 5 \Rightarrow y \geq -1\) (все \(y\) по условию \(\geq 1\)); \(6 + y \leq 8 \Rightarrow y \leq 2\). Подходящие \(y=1, 2\). **Всего допустимых пар:** | \(x\) | допустимые \(y\) | Количество | |--------|----------------------|--------------| | 1 | 4, 5, 6 | 3 | | 2 | 3, 4, 5, 6 | 4 | | 3 | 2, 3, 4, 5 | 4 | | 4 | 1, 2, 3, 4 | 4 | | 5 | 1, 2, 3 | 3 | | 6 | 1, 2 | 2 | Общее число подходящих исходов: \(3 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 = 20\). --- **Шаг 3: Определим события** - \(A\): во втором броске выпало столько же очков, сколько и в первом. Иначе говоря, две последние числа равны: \(x = y\). Нам нужно найти условную вероятность: \[ P(\text{второй равен первому} \mid \text{сумма от 5 до 8}) = \frac{\text{число исходов, при которых } x = y \text{ и сумма в диапазоне}}{\text{общее число исходов в диапазоне}}. \] --- **Шаг 4: Найдём подходящие случаи, когда \(x=y\)** Обозначим пару \((x, y)\), где \(x=y\). Нужно проверить, при каких \(x\), что и сумма в интервале 5–8. - \(x=y=1\): сумма 2 — не подходит. - \(x=y=2\): сумма 4 — не подходит. - \(x=y=3\): сумма 6 — подходит. - \(x=y=4\): сумма 8 — подходит. - \(x=y=5\): сумма 10 — не подходит. - \(x=y=6\): сумма 12 — не подходит. Подходящие случаи: - \((3,3)\), сумма = 6; - \((4,4)\), сумма = 8. Всего подходящих случаев: 2. --- **Шаг 5: Вычисляем вероятность** Общее число случаев, подходящих под условие — 20. Число подходящих исходов, где \(x=y\) и сумма в диапазоне: 2 (только два случая). Следовательно, \[ P = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0.1. \] **Ответ:** **Вероятность, что во второй раз выпало столько же очков, сколько в первый, при условии, что сумма выпавших очков от 5 до 8 — это \(\boxed{\frac{1}{10}}\).**